Feladat: Gy.1916 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árkossy O. ,  Bánhegyi B. ,  Bogár Á. ,  Boros 432 G. ,  Borsó Zs. ,  Csúri Piroska ,  Csutora Mária ,  Danyi P. ,  Fodor Gy. ,  Gábor Zs. ,  Horváth 290 P. ,  Katona Gy. ,  Kő Andrea ,  Kocsis 164 Csilla ,  Kovács 154 Beáta ,  Lenzsér P. ,  Náray M. ,  Szabó Cs. ,  Szederkényi Edit ,  Szekeres G. ,  Szurok B. ,  Tóth 264 L. ,  Vadvári T. ,  Ván 567 P. ,  Végh Katalin ,  Virányi L. 
Füzet: 1980/december, 217. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/május: Gy.1916

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük A-val azt a csúcsot, melyből a 3 nevezetes vonal kiindul. Tudjuk, hogy F felezi az A-t nem tartalmazó BC ívet. Ha meghúzzuk BC felező merőlegesét, ez keresztülmegy az F és O pontokon, ahol O a körülírt kör középpontja, és OF⊥BC és AM⊥BC, azaz OF∥AM. Továbbá azt is tudjuk, hogy OF és AS egyenesnek van egy közös pontja a BC oldalon, hiszen mindkettő felezi azt.

 
 

Ennek alapján a szerkesztés menete a következő: Meghúzzuk az OF egyenest és az M ponton át vele párhuzamos egyenest húzunk. Ez metszi ki a körből az A csúcsot. Az AS és OF egyenesek metszéspontján át merőlegest állítunk AM-re, a merőleges és a kör metszéspontjai a háromszög B és C csúcsai.
A szerkesztés menetéből következik, hogy a kapott háromszög ‐ ha létezik ‐ eleget tesz a feltételnek. A feladatnak, ha van megoldása, nyilván csak egy van. Azt állítjuk, hogy ha M, F, S pontok ilyen sorrendben egy félkörívnél kisebb íven vannak, akkor van a feladatnak megoldása. A szerkesztés fontos lépése az AS és OF egyenesek metszéspontjának megszerkesztése. Ez a metszéspont csak akkor lesz a kör egy belső pontja, ha A és S az OF átmérő különböző oldalán van, és mivel AM∥OF, M és S is az OF egyenes különböző oldalán van, azaz F valóban M és S között fekszik. Tudjuk, hogy az OF átmérő az A, S pontokat szétválasztja, hasonlóképpen a BC egyenes is. Tükrözzük az A pontot OF-re, mivel AA'∥BC, így nyilván BC az A', S pontokat is szétválasztja, azaz A' a BC pontok által meghatározott egyik köríven van, míg S a másikon. Az MAA' szög derékszög, amiből következik, hogy M, F és S valóban egy félkörívnél kisebb íven van.