Feladat: Gy.1911 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/október, 75. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú diofantikus egyenletek, Egész számok összege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/május: Gy.1911

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A=0+1+...+(x+y),B=x jelölésekkel, azonos átalakítással:

(x+y)2+3x+y2=(x+y)(x+y+1)2+x=(1+...+(x+y))+x=A+B.
Tehát a kívánt előállítás szerint az első tag az első x+y+1 nem negatív egész szám összege, a második pedig ezek közül az egyik.
Így minden n természetes szám előállítható. Összegezzük 0-tól kezdve a természetes számokat addig, míg a következő hozzávétele n-nél nagyobb összeget nem adna, ehhez nyilván még egy olyan számot kell adni, ami a következőnél kisebb, tehát már szerepelt.
Az előállítás egyértelmű, ugyanis ha a számok összegzését hamarabb hagyjuk abba, mint az előző részben mondottuk, akkor B nem a már összegzettek közül lesz egy, ha pedig később, akkor B negatív lesz.