Kezdőlap


Feladat:	Gy.1908	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/november, 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb szinezési problémák, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: Gy.1908

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük a különböző színű csúcspárok által meghatározott szakaszokat. Válasszuk ki közülük a leghosszabbat; ha több egyformán leghosszabb van, azok valamelyikét. Legyen mondjuk ennek egyik végpontja piros, a másik kék. Jelöljük is őket $P$ -vel, $K$ -val, a kör középpontját $O$ -val, a kört $P$ -vel, $K$ -val átellenes pontjait $P'$ -vel, $K'$ -vel.

P

és

K

átellenesek, bármelyik (tőlük különböző) zöld csúcsot hozzájuk véve, derékszögű háromszöget kapunk. Ha

P

és

K

nem átellenesek, a (rövidebb)

P K'

íven biztosan nincs zöld pont, hiszen ha volna, azt

K

-val összekötve

P K

-nál hosszabb szakaszt kapnánk. Hasonlóan a (rövidebb)

K P'

íven sincs zöld pont, és az sem lehet, hogy mindhárom zöld csúcs a (rövidebb)

P K

íven legyen. Van tehát zöld csúcs a (rövidebb)

P' K'

íven, és ez a

P

K

pontokkal hegyesszögű háromszöget ad.
II. megoldás. Ha vannak átellenes különböző színű pontok, azokból mindig derékszögű háromszög készíthető. Eleve feltehetjük tehát, hogy nincsenek átellenes pontok a pontjaink között. Megmutatjuk, hogy akkor is találunk megfelelő háromszöget, ha az egyik színhez csak egy pontunk van. Legyen például

K

tetszőleges (kék) pont a körön, és helyezkedjünk úgy el, hogy a rajta átmenő átmérő vízszintes legyen.

Tekintsük a piros csúcsokkal átellenes pontokat. Ezek is hegyesszögű háromszöget határoznak meg, tehát a teljes körívet három, egyenként a félkörnél rövidebb ívre vágják. Válasszuk a három körív közül azt, amelyik

K

-t tartalmazza, ennek

K

feletti végpontját jelöljük

P'_{F}

-fel, a

K

alatti végpontját

P'_{L}

-lel, a velük átellenes pontokat

P_{F}

-fel,

P_{L}

-lel. Mivel a választott

P'_{F} L'_{L}

ív kisebb a félkörívnél, nem tartalmazhatja az összes zöld csúcsot. Legyen mondjuk

Z

a vízszintes átmérő fölötti zöld csúcs, amelyik nincs rajta a

K P'_{F}

íven. Akkor

K P_{F} Z

a keresett háromszög. Ha pedig

Z

az átmérő alatt van, akkor

K P_{L} Z

lesz hegyesszögű.