Feladat: Gy.1906 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/november, 150. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat, Körülírt kör, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/április: Gy.1906

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzuk meg a háromszög A-ból induló magasságvonalát. Jelöljük a talppontját T-vel. Mivel a háromszög egyenlő oldalú, AT tartalmazza a körülírt kör O középpontját és AT:AO=3:2. Ha tehát az e egyenest az A pontból 3:2 arányban nagyítjuk, az így kapott e' egyenes átmegy a T ponton. Ezek ismeretében a szerkesztés menete a következő.

 
 

Megrajzoljuk az AP szakasz Thalész‐körét. Nagyítjuk az e egyenest az A pontból 3/2 arányban, ez lesz az e' egyenes. Az e' egyenes és a Thalész‐kör metszéspontja, ha létrejön, adja a T pontot. Az AT egyenes metszi ki az O pontot e-ből. Az AO sugár ismeretében megrajzoljuk a körülírt kört, amelyből TP egyenes kimetszi a B és C csúcsokat.
Az ABC háromszög nyilván megfelel a követelményeknek. Mivel AT a körülírt körnek átmérőegyenese, azaz szimmetriatengely, az ABC háromszög egyenlő szárú. Az AT:AO=3:2 arány teljesülése miatt O egyben a háromszög súlypontja is, amiből következik, hogy az ABC háromszög egyenlő oldalú is.
A megoldhatóság feltétele, hogy az e' egyenesnek és az AP távolsághoz tartozó Thalész‐körnek legyen közös pontja, ami akkor teljesül, ha az e' egyenesnek az AP szakasz felezőpontjától való távolsága legfeljebb akkora; mint AP/2. Mivel még azt is kikötöttük, hogy a P pont a BC oldalra essék, ezért csak az a háromszög lesz megoldás, amelyre teljesül, hogy a PAT∢≤30∘.