Kezdőlap


Feladat:	Gy.1901	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/október, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Gyakorlat, Háromszögek hasonlósága, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: Gy.1901

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $C B$ egyenes merőleges $A B$ -re és $A O$ -ra, így az $A O B$ sík minden egyenesére is merőleges, azaz $O B C ∢ = 90^{\circ}$ .
Az $A O B$ és $A O C$ derékszögű háromszögekben $A O^{2} = O P \cdot O B$ , ill. $A O^{2} = O Q \cdot O C$ a befogó tétel szerint, ahonnan $O P \cdot O B = O Q \cdot O C$ , azaz

\begin{matrix} \frac{O P}{O C} = \frac{O Q}{O B} . \end{matrix}

O P Q

és

O C B

háromszögben tehát két oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik, a két háromszög hasonló. Megfelelő szögeik

O B C ∢ = O Q P ∢ = 90^{\circ}

, vagyis

P Q

egyenes merőleges

O C

-re. Hasonlóan láthatjuk be, hogy

R Q

is merőleges az

O C

-re. Márpedig ha egy egyenesre egy pontjában merőleges egyeneseket állítunk, akkor ezek valóban egy síkban, az egyenesre merőleges síkban vannak. Ezzel az állítást igazoltuk.