A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Helyezzük rá a háromszögre a körlapot úgy, hogy és , illetve és a peremén legyen és a körlap a harmadik pontot is lefedje. Így kapjuk a , ill. kört. Középpontjukat jelöljük és -vel. Mivel a körlap sugara nagyobb, mint a háromszög köré írt kör sugara, a és kör biztosan metszi egymást egy -től különböző pontban.
Most helyezzük el a körlemezt úgy, hogy a kerületére kerüljön és rajzoljuk meg a től különböző kört. Majd hasonlóan a pontokon átmenő, -től különböző kört. Azt állítjuk, hogy ez utóbbi két körnek -től különböző metszéspontja, lesz a paralelogramma negyedik csúcsa, vagy a két kör érinti egymást, és ekkor már paralelogrammává egészíti ki az pontokat. Ennek igazolására először azt látjuk be, hogy a kört vektorral eltolva a körbe megy át. Mivel a két kör sugara egyenlő, elegendő azt belátnunk, hogy a eltolás -et -be viszi át. Tudjuk, hogy a és körök metszéspontjain átmenő egyenes a két kör szimmetriatengelye és merőlegesen felezi a körök középpontját összekötő szakaszt. Jelöljük ezt a felezési pontot -gyel. Hasonlóképpen az szakasz és az azt merőlegesen felező egyenes metszéspontját -vel. Ekkor a és háromszögek közös középvonala, ezért , és mindkét oldal felével egyenlő, azaz . Ezzel állításunkat igazoltuk. Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy a kört -ral eltolva a -ba megy át, amiből következik, hogy az paralelogramma csúcsa a körök metszéspontja. Ha eleve paralelogramma, akkor ‐ mint az könnyen látható‐, -et a -re való tükrözés -ba viszi, tehát a két kör -ben érinti egymást. |