Kezdőlap


Feladat:	Gy.1897	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/november, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: Gy.1897

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett számokat $A$ -val, $B$ -vel, összegüket $S$ -sel, különbségüket $F$ -fel. Mivel $S$ és $F$ számjegyei azonosak, csak ellentétes a sorrendjük, mindkettő kétjegyű, hiszen $S$ legalább kétjegyű, $F$ legfeljebb kétjegyű. Mivel $F > 0$ , $A$ nagyobb $B$ -nél, és ha $S$ számjegyeit $x$ -szel, $y$ -nal jelöljük, $x$ nagyobb $y$ -nál. Ezek helyi értékét is figyelembe véve, $S$ , $F$ , $A$ , $B$ értéke a következő:

\begin{matrix} S & = 10 x + y, F = 10 y + x, \\ A & = \frac{1}{2} (S + F) = 11 \frac{x + y}{2}, \\ B & = \frac{1}{2} (S - F) = 9 \frac{x - y}{2} . \end{matrix}

Mivel

A

B

egészek,

(x + y) / 2

és

(x - y) / 2

is egész. Ha ezek értékét rendre

a

-val,

b

-vel jelöljük, kapjuk, hogy

\begin{matrix} A = 11 a, B = 9 b, x = a + b, y = a - b . \end{matrix}

Azoknak az

a

b

számpároknak kell tehát meghatároznunk a számát, amelyekre

A

B

kétjegyű számok,

x

y

pedig 0-tól különböző számjegyek. Így

1 < b < a

és

a + b \leq 9

. Ha

a + b = 9

, akkor a (7; 2), (6; 3), (5; 4) számpárok felelnek meg,

a + b = 8

mellett a (6; 2), (5; 3),

a + b = 7

mellett az (5; 2), (4; 3) számpárok,

a + b = 6

mellett a (4; 2), végül

a + b = 5

mellett a (3; 2) számpár felel meg. Ezekből a következő 9 megoldást kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} A & 77 & 66 & 55 & 66 & 55 & 55 & 44 & 44 & 33 \\ B & 18 & 27 & 36 & 18 & 27 & 18 & 27 & 18 & 18 \end{matrix} \end{matrix}