Kezdőlap


Feladat:	Gy.1895	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/november, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: Gy.1895

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük páratlan $n$ mellett az $n$ -nél nem nagyobb páratlan számok szorzatát $P_{n}$ -nel, ha pedig $n$ páros, az $n$ -nél nem nagyobb páros számok szorzatát jelöljük $Q_{n}$ -nel. Mivel egy szám négyzete nagyobb a vele szomszédos számok szorzatánál,

\begin{matrix} P_{99}^{2} = 1^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot ... \cdot 99^{2} > 1^{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 98 \cdot 100 = \frac{Q_{100}^{2}}{200}, \end{matrix}

hiszen a ki nem írt részben a 4 és 100 közötti páros számok négyzetének a szorzata gyűlik össze. Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} Q_{100}^{2} = 2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2} \cdot ... \cdot 100^{2} > 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 99 \cdot 101 = 101 P_{99}^{2}, \end{matrix}

és a két egyenlőtlenségből kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{200} < (\frac{P_{99}}{Q_{100}}) < \frac{1}{101} . \end{matrix}

Ebből következik (1), hiszen

200 < 15^{2}

és

10^{2} < 101

. Meggondolásunkból látható, hogy ha

n

páros, általában

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{2 n}} < \frac{P_{n - 1}}{Q_{n}} < \frac{1}{\sqrt[]{n + 1}} . \end{matrix}