Feladat: Gy.1894 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti Gábor 
Füzet: 1980/november, 144 - 145. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Exponenciális egyenletrendszerek, Exponenciális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/március: Gy.1894

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az egyenlőség minden valós x-re fennáll, teljesül az x=0; x=1; x=2 esetekben is. Ezeket rendre behelyettesítve a mondott összefüggésbe, az alábbi három egyenletet kapjuk:

2q=p+q,(1)2p+q=2p+q,(2)22p+q=4p+q.(3)

Vonjuk ki a (2) egyenletből az (1)-t, majd a (3)-ból a (2)-t:
2q(2p-1)=p,(4)2p+q(2p-1)=2p.(5)

Tegyük fel először, hogy 2p≠1, azaz p≠0. Ekkor az (5) egyenletet a (4)-gyel osztva 2p=2 adódik, ahonnan p=1-et kapjuk. Ezt (1)-be és (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy
2q=1,tehátq=0.
A p=1, q=0 értékpár valóban megoldás, hiszen ekkor az eredeti összefüggés azonosság.
 

Külön kell vizsgálnunk a p=0 esetet. Ekkor a vizsgált egyenlőség két oldala x-től független, feladatunk most a
2q=q
egyenlet vizsgálata.
 

Azt állítjuk, hogy minden valós q-ra 2q>q, tehát q=0 mellett nincs megoldás. Ehhez szükségünk van az alábbi egyenlőtlenségre:
2n≥n+1,ha n egész szám.(*)

A fenti egyenlőtlenség nyilván teljesül, ha n<0, hisz ekkor a jobb oldal nem pozitív. Ha n=0, akkor egyenlőség van (*)-ban. Tegyük fel, hogy (*) teljesül n-re, ahol n≥0; belátjuk, hogy ekkor (n+1)-re is teljesül.
Valóban, 2n+1=2n+2n≥n+1+2n≥n+1+20=n+2. Ezzel a (*) egyenlőtlenséget minden egész n-re igazoltuk.
Legyen most q egy tetszőleges valós szám. Ekkor [q]+1>q≥[q], ahol [q] a q-nál nem nagyobb egészek legnagyobbika.
Így 2q≥2[q]≥[q]+1>q, tehát p=0 esetben valóban nem kapunk további megoldást.
Így a feladat megoldása: p=1; q=0.
 

 Alberti Gábor (Budapest, Árpád Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. Mutatunk egy másik lehetőséget a p≠0 eset tisztázására. Ismeretes, hogy az f(x)=2x függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. Ha p≠0, akkor a px+q minden valós értéket fölvesz, így a g(x)=+2px+q függvény értékkészlete is a pozitív valós számok halmaza. A jobb oldalon álló függvény értékkészlete a q-nál nagyobb vagy a q-nál kisebb valós számok halmaza, attól függően, hogy p pozitív vagy negatív. Miután a két függvény egyenlő, így értékkészletük is azonos, ami azt jelenti, hogy p pozitív és q=0, amiből 2px=p⋅2x következik. Mivel az egyenlőség x=0-ra is fennáll, így 20=p, tehát p=1.