Kezdőlap


Feladat:	Gy.1893	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1980/november, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat, Síkbeli szimmetrikus alakzatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: Gy.1893

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljunk az $A B$ szakasz fölé egy egyenlő oldalú háromszöget, a háromszög $B D$ szakaszon levő csúcsát jelöljük $G$ -vel. Húzzunk a $D$ ponton keresztül párhuzamost $A B$ -vel, messe ez $A G$ -t $E$ -ben. $E D G ∢ = A B D ∢ = 60^{\circ}$ ( $E$ tehát a $C$ felett van), valamint $D G E ∢ = B G A ∢ = 60^{\circ}$ miatt $D E G$ háromszög egyenlő oldalú, tehát $D E = E G$ . Feltétel szerint $G D C ∢ = B D C ∢ = 30^{\circ}$ , $D C$ tehát a $G E$ szakasz felező merőlegese.

A B C

háromszögben

B C A ∢ = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 60^{\circ} + 20^{\circ}) = 50^{\circ}

, azaz

A B C

egyenlő szárú,

B C = B A

, ami viszont

B G

-vel egyenlő, hiszen

A B G

egyenlő oldalú. Ezért

G B C

háromszögben

B G = B C

és

B C G ∢ = B G C ∢ =

= \frac{180^{\circ} - 20^{\circ}}{2} = 80^{\circ}

A C G ∢ = B C G ∢ - B C A ∢ = 80^{\circ} - 50^{\circ} = 30^{\circ}

.

A

G C E

háromszögben a

G E

oldal felező merőlegese átmegy a szemközti csúcson, s ezért

C G = C E

. Az

E G C ∢ = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 80^{\circ}) = 40^{\circ}

, ezért

E C G ∢ = 180^{\circ} - 2 \cdot 40^{\circ} = 100^{\circ}

, amiből következik, hogy

E C G ∢ + B C G ∢ = 100^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}

, azaz

E

C

és

B

pontok egy egyenesen vannak.

A B E D

négyszög tehát tengelyesen szimmetrikus trapéz, alapon fekvő szögei egyenlők, azaz

D B A ∢ = A B C ∢ = 80^{\circ}

, amiből következik, hogy

D A C ∢

valóban

30^{\circ}

-os.