Kezdőlap


Feladat:	Gy.1891	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hetyei Gábor
Füzet:	1980/december, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: Gy.1891

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $P$ ponton át húzzunk párhuzamost a háromszög mindhárom oldalával. Így felbontottuk a háromszöget $3$ paralelogrammára és $3$ kis szabályos háromszögre, ez utóbbiak oldalait jelöljük rendre $x$ , $y$ és $z$ -vel.

P A_{1}

P B_{1}

P C_{1}

szakasz az őt tartalmazó kis háromszögnek magasságvonala, így felezi a szemközti oldalt. Emiatt

\begin{matrix} A C_{1} + B A_{1} + C B_{1} = (y + \frac{z}{2}) + (z + \frac{x}{2}) + (x + \frac{y}{2}) = \frac{3}{2} (x + y + z) . \end{matrix}

Itt

x + y + z = A B

, hiszen az eredeti háromszög minden oldalán

x, y, z

mindegyike pontosan egyszer fordul elő. Ezzel az állítást igazoltuk.

Hetyei Gábor (Pécs, Leövey K. Gimn., I. o. t.)