Kezdőlap


Feladat:	Gy.1888	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ótott-Kovács István
Füzet:	1980/november, 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: Gy.1888

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett számot $S$ -sel, a 100 db 1-esből álló számot $E$ -vel. A feladat szerint $S^{2}$ -ben $E$ után $E$ kétszerese, majd egy kettes és egy ismeretlen számjegy, mondjuk $x$ áll. Általában, ha a $k$ jegyű $B$ számot az $A$ szám után írjuk, ‐ a keletkezett $\bar{A B}$ számban $A$ minden számjegyének a helyi értéke $10^{k}$ -szorosára nő, $\bar{A B} = 10^{k} A + B$ . Ennek alapján $E$ -ből $S^{2}$ így állítható elő:

\begin{matrix} S^{2} = 10 (10 (10^{100} E + 2 E) + 2) + x . \end{matrix}

A 100 db egyesből álló

E

szám 9-szerese 100 db 9-esből áll, ezt 1-gyel megnövelve az egy egyesből és 100 nullából álló

D = 10^{100}

számot kapjuk:

9 E + 1 = D

, tehát

\begin{matrix} S^{2} = 100 (D + 2) E + 20 + x = 100 (D + 2) \frac{D - 1}{9} + 20 + x \\ 9 S^{2} = 100 D^{2} + 100 D - 20 + 9 x = {(10 D + 5)}^{2} + 9 (x - 5) . \end{matrix}

Ez akkor négyzetszám, ha a második tag értéke 0, vagyis

x = 5

, ekkor

S = (10 D + 5) / 3 = (10^{101} + 5) / 3

. Mivel a

C = 10^{101} + 5

szám jegyeinek összege 6, ez valóban osztható 3-mal,

S

mondott értéke egész szám. Más érték nem is jöhet szóba

x

-re, hiszen a

C^{2}

-tel szomszédos négyzetszámok lényegesen többel térnek el

C^{2}

-től, mint amekkora a

9 (x - 5)

lehet egyjegyű

x

mellett. Tehát a keresett szám

(10^{101} + 5) / 3

, és négyzetének az utolsó jegye 5.

Ótott‐Kovács István (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)