Feladat: Gy.1886 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Sike Sándor 
Füzet: 1980/október, 70 - 71. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hatványösszeg, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/február: Gy.1886

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Három szóba jöhető hatványai a következőek:

 

     k      0      1      2      3      4        5      6      7      8   3k139278124372921876561
 

39 már nem jöhet szóba, hiszen az épp 19 683-mal egyenlő. Csoportosítsuk a lehetséges megoldásokat aszerint, hogy bennük hány ismeretlen értéke egyenlő x1-gyel. Jelöljük ezt a számot M-mel, magát x1-et m-mel. M nyilván pozitív, és M≤9, m<9. Emiatt M-nek 3-mal oszthatónak kell lennie, hiszen bal oldalon levő 3m-nél nagyobb tagok (ha egyáltalán vannak ilyenek) és a jobb oldal is osztható 3m+1-nel, így a 3m-nel egyenlő tagok összege is osztható 3m+1-nel. M-re tehát három érték jöhet szóba: 3, 6 és 9. Ha M=9, az ismeretlenek mind egyenlőek, és közös értékük csak 7 lehet, hiszen 9 db 37 összege éppen 39.
x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x8=x9=7.(2)

Jelöljük a másik két esetben a keresett megoldásban az m+1-gyel egyenlő ismeretlenek számát N-nel. Akkor (1) bal oldalán a 3m-mel és 3m+1-nel egyenlő tagok összege S=(M3+N)3m+1. Ez nem lehet 39-nel egyenlő, hiszen ekkor M+N-nek is, M3+N-nek is 9-cel kellene egyenlőnek lennie, ami M>0 miatt nem lehet. Emiatt m<8, és (1) bal oldalán vannak 3m+2-nel osztható tagok. Mivel a jobb oldal is osztható 3m+2-nel, (M3+N) osztható 3-mal.
Ha M=6, ebből N=1, és S=3m+2 következik. A maradék két 3-hatványnak ezt az S összeget kell 39-re kiegészítenie, ami csak úgy lehetséges, ha S is és ezek a hatványok is 38-nal egyenlőek:
x1=x2=x3=x4=x5=x6=6,x7=7,x8=x9=8.(3)
Ha M=3, akkor N értéke 2 vagy 5 lehet, S értéke pedig 3m+2 vagy 2⋅3m+2. Második esetben már csak egy 3-hatványunk maradt, így ennek is 3m+2-nel kell egyenlőnek lennie, és m értéke ismét 6:
x1=x2=x3=6,x4=x5=x6=x7=x8=7,x9=8.(4)
Az első esetben az ismeretlenek közül négy nagyobb (m+1)-nél. Jelöljük közülük az (m+2)-vel egyenlőek számát K-val. Mivel most S+K⋅3m+2=(K+1)3m+2, (K+1)-nek 3-mal oszthatónak kell lennie:
x1=x2=x3=5,x4=x5=6,x6=x7=7,x8=x9=8.(5)
Az (1) egyenletnek tehát a (2), (3), (4), (5) alatti négy értékrendszer a megoldása.
 
 Sike Sándor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 
Megjegyzés. Ha egy országban a váltópénzek értéke csak 3 hatványa lehet, és nekünk 9 db 37-nel egyenlő pénzünk van, megkérdezhetjük, hányféleképpen válthatnánk át vagyonunkat, ha ragaszkodunk ahhoz, hogy az 9 darabban maradjon. Valahányszor felváltunk egy pénzt ebben az országban, 3 darab közvetlen kisebb címletűt kapunk helyette, tehát 2-vel több pénzünk lesz. Úgy csökkenthetjük a pénzeink számát, ha három egyforma címletűt egy nagyobb értékűre cserélünk. Eszerint a (2) alatti megoldásból úgy kapjuk (4)-et, hogy egy pénzt felváltunk, hármat pedig összeváltunk. Ebből (3)-at is, (5)-öt is ennek a lépésnek az ismétlésével kapjuk, a különbség csak az, hogy (3) esetén 37 címletű, (5) esetén 36 címletű pénzt váltunk fel.