Feladat: Gy.1883 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/szeptember, 13 - 14. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sík parkettázás, Gyakorlat, Egybevágósági transzformációk
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/január: Gy.1883

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sík lefedése azt jelenti, hogy a sík minden pontja a lefedő síkidomok belsejében vagy a határán van, és nincs a síkon olyan pont, amely két síkidom belsejében is benne lenne. Azt mondhatjuk, hogy a lefedő síkidomok nem nyúlhatnak egymásba, úgy helyezkednek el, mint egy padlózat parkettái, ezért a sík egyrétű és hézagtalan lefedését parkettázsnak is szokás nevezni.

 
 

Ismeretes, hogy a szabályos sokszögek közül csak a három-, négy-, hatszögekből készíthető parkettázs. Az is ismert, hogy ha valamely sokszögből készíthető parkettázs, akkor a lerakás általában nem tetszés szerinti. Feladatunk tehát az, hogy az adott síkidomnak olyan elrendezését találjuk meg, amely hézagtalanul és egyrétűen lefedi a síkot. Ehhez felhasználhatjuk a sík transzformációt, az eltolást, forgatást, tükrözést.
A feladat megoldására mutatunk néhány példát.
 

 
1. ábra

 

A megadott idomokból 12-t felhasználva az alábbi módon egy 6×10 egységnyi téglalapot sikerül összeállítani. Ilyen téglalapokkal pedig lefedhető a sík (1. ábra).
Egy idom és tengelyes tükörképe egy ,,patkót'' alkot. Ilyen patkókkal a sík egy sávja lefedhető, a sávokkal pedig az egész sík (2. ábra).
 

 
2. ábra

 

 
3. ábra

 

Illesszük össze az idomot és 180∘-os elforgatottját. Az így kapott alakzatokkal egy fogazott sávot fedhetünk le (3. ábra).
Helyezzük egymás mellé az adott idomot és 90∘-os elforgatottját. Ismét egy sávot kapunk (4. ábra).
 

 
4. ábra

 

 
5. ábra

 

Négy idomból a következő alakzatot rakhatjuk össze (5. ábra). Ezeket egymás mellé helyezve ugyancsak egy sávot kapunk.
 

Megjegyzés. Az ilyen kis négyzetekből álló síkbeli alakzatokat a dominó szó mintájára poliominóknak nevezik. Az ötsejtűt, azaz amelyik 5 négyzetből áll, pentominónak. Az összefüggő pentominóknak ‐ amelyek sejtjei legalább 1-1 él mentén érintkeznek, a mienk nem ilyen ‐ 12 különböző alakjuk van. Közülük egyesekkel könnyen ki lehet parkettázni a síkot pl. úgy, hogy páronként összeillesztjük őket. Az érdeklődő olvasók részletesebben is olvashatnak a poliominókról Vargha Balázs: Játékkoktél (Minerva Kiadó, Bp., 1967) c. könyvében.