Kezdőlap


Feladat:	Gy.1882	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/május, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: Gy.1882

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $F_{1} A_{1} ⊥ C B, F_{1} A_{2} = C F_{1}$ és $F_{1} C = \frac{1}{2} C B$ miatt $C A_{2} B$ -t tekinthetjük úgy, mint a $C A_{2}$ oldalú négyzet felét; hasonlóképpen $C B_{2} A$ a $C B_{2}$ oldalú négyzet fele. Így $C A_{2} B$ és $C B_{2} A ∢ = 90^{\circ}$ . A két négyzet hasonló és a $C$ pont körüli forgatással középpontosan hasonló helyzetbe hozható, mivel $A_{2}$ -t a $B C$ oldaltól kifele, a $B_{2}$ -t viszont $A C$ -től befele mértük fel, ezért a $C A_{2}$ egyenest ugyanolyan irányú $45^{\circ}$ -os forgatással kapjuk meg $C B$ -ből, mint $C B_{2}$ -t az $A C$ -ből, amiből következik, hogy $A C B ∢ = B_{2} C A_{2} ∢$ . A négyzet-oldalak arányát is könnyű meghatározni. Tudjuk, hogy $C B : C A_{2} = \sqrt[]{2}$ , és $C A : C B_{2} = \sqrt[]{2}$ , ahonnan

\begin{matrix} C A_{2} = \frac{C B}{\sqrt[]{2}}, C B_{2} = \frac{C A}{\sqrt[]{2}} és \frac{C A_{2}}{C B_{2}} = \frac{C B}{C A} . \end{matrix}

Az oldalak arányából és az

A C B, B_{2} C A

szögek egyenlőségéből következik az

A C B

és

B_{2} C A_{2}

háromszögek hasonlósága. Amiből

\begin{matrix} C B A ∢ = C A_{2} B_{2} ∢ \end{matrix}

(1)

is fennáll.
Rajzoljuk meg a

C B

szakasz Thalész körét. Ez átmegy az

A_{2}

és

C_{1}

pontokon, hiszen mindkettőből derékszög alatt látszik. A

C C_{1}

húr nem választhatja szét az

A_{2}, B

pontokat, mivel

A_{2}

-t kifele mértük fel, és

C_{1}

A B

egyenesen van, s így a

C C_{1}

húr mindkettőből ugyanakkora szög alatt látszik, azaz.

\begin{matrix} C A_{2} C_{1} ∢ = C B C_{1} ∢ = C B A ∢ = C A_{2} B_{2} ∢ \end{matrix}

ez utóbbi (1) miatt, ami éppen azt jelenti, hogy

A_{2}, B_{2}, C_{1}

pontok egy egyenesen vannak.