Kezdőlap


Feladat:	Gy.1879	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/május, 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: Gy.1879

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha az $x, y, z$ közül legalább az egyik nulla, akkor az egyenletekből következően mindegyik az, és $x = y = z = 0$ nyilván megoldás. Tehát feltehetjük, hogy az $x, y, z$ közül egyik sem nulla. Összeszorozva a három egyenletet, a kapott egyenlet mindkét oldalát $(1 + x^{2}) (1 + y^{2}) (1 + z^{2})$ -tel szorozva (ez biztosan nem nulla) és $x y z$ -vel osztva (ez sem nulla) kapjuk:

\begin{matrix} 8 x y z = (1 + x^{2}) (1 + y^{2}) (1 + z^{2}) . \end{matrix}

Mivel tetszőleges

a

számra

0 \leq {(1 - a)}^{2} = 1 - 2 a + a^{2}

, tehát

2 a \leq 1 + a^{2}

, és itt egyenlőség csak

a = 1

értékre állhat:

\begin{matrix} 2 x \cdot 2 y \cdot 2 z \leq (1 + x^{2}) (1 + y^{2}) (1 + z^{2}), \end{matrix}

és egyenlőség csak

x = y = z = 1

esetben teljesül.
Tehát az egyenletrendszernek két megoldása van: az

x = y = z = 0

és az

x = y = z = 1

II. megoldás. Az egyenletek bal oldala nemnegatív, így feltehetjük, hogy

x \geq 0;