Feladat: Gy.1878 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Molnár István 
Füzet: 1981/február, 67 - 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat, Maradékos osztás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/január: Gy.1878

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha az ezernél kisebb n természetes számhoz ezret adunk, a számjegyeinek összege eggyel nő. 1980 helyett 2000-et véve, az összegben tehát az n és 1000+n számok közül pontosan az egyik szerepel. Emiatt az

A=0+1+2+...+999=500⋅999
összeg pontosan 1000 B-vel kevesebb azoknak a 2000-nél kisebb természetes számoknak az összegénél, amelyekben a számjegyek összege páros, ahol B azoknak az ezernél kisebb természetes számoknak a száma, amelyekben a számjegyek összege páratlan.
 

Ha az ezernél kisebb n természetes számot kivonjuk 999-ből, a kivonás jegyenként végezhető, sehol nem marad maradék. A megfelelő számjegyek összege tehát mindhárom helyi értékre 9 (ha a 100-nál kisebb számokat 0 számjegyekkel háromjegyűekké egészítjük ki). Emiatt az n és 999-n számok közül pontosan az egyikben páratlan a számjegyek összege, tehát B=500.
 

Adjuk össze végül azokat az n természetes számokat, amelyekre 1980≤n<<2000, és a számjegyek összege páros:
C=1980+1982+1984+1986+1988+1991+1993+1995+1997+1999==19895.


A keresett összeg tehát
S=A+1000B-C=500⋅999+500⋅1000-19895=979605.

 

 Molnár István (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., III. o. t.)
 

II. megoldás. Osszuk el 20-szal a tetszőleges n számot, és jelöljük a hányadost h-val, a maradékot m-mel:
n=20h+m,0≤m<20.
Ha ebben az összefüggésben mindhárom szám helyére a számjegyeinek az összegét írjuk, az összefüggés érvényben marad. Az n szám utolsó jegye ugyanis egyenlő m utolsó jegyével, a H=20h szám utolsó jegye 0. n utolsó előtti jegye megoszlik H és m utolsó előtti jegyei között: ha ez a jegy páratlan, mondjuk 2k+1, akkor H utolsó előtti jegye 2k, m-é pedig 1, különben n és H utolsó előtti jegyei egyenlőek, m-é 0.
 

Ha az m maradék 0 és 20 közt fut, és H állandó, az esetek felében, a
0,2,4,6,8,1113,15,17,19
számokra lesz m számjegyeinek összege páros. Ezek összege egyenlő a többi lehetséges maradék összegével. Emiatt azoknak az n számoknak az összege, amelyekre H=20h≤n<H+20, és n szám jegyeinek az összege páros, egyenlő a H és H+19 közti számok összegének felével. Mivel pedig 1980 osztható 20-szal, ez maga után vonja, hogy a keresett összeg egyenlő az 1980-nál kisebb természetes számok összegének felével:
S=0+1+2+...+1979=990⋅19792=979605.