Kezdőlap


Feladat:	Gy.1874	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1980/április, 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: Gy.1874

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A$ -nak a $B C$ egyenesen levő vetületét $D$ -vel, mivel a háromszög hegyesszögű, a vetület a $B C$ szakaszon van. Az $A C D$ derékszögű háromszögben az $A C$ átfogó hosszabb az $A D$ befogónál, de rövidebb a két befogó összegénél:

\begin{matrix} A D < A C < A D + D C, \end{matrix}

amiből átrendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} A C - D C < A D < A C . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk az

A B D

háromszögben, hogy

\begin{matrix} A B - B D < A D < A B . \end{matrix}

Adjuk össze ezeket az egyenlőtlenségeket:

\begin{matrix} A C + A B - (B D + D C) < 2 A D < A B + A C, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b + c - a < 2 m_{a} < b + c . \end{matrix}

(a)

Hasonlóan látható be, hogy

\begin{matrix} c + a - b < 2 m_{b} < c + a . & (b) \\ a + b - c < 2 m_{c} < a + b . & (c) \end{matrix}

(a)

(b)

(c)

egyenlőtlenség‐láncokat összeadva a bizonyítandó (1) egyenlőtlenség‐láncot kapjuk.