Jelöljük a két részhalmazt $A$-val, $B$-vel, és azt, hogy $n$ az $A$ eleme, jelöljük (szokás szerint) $n\in A$-val. Feltesszük, hogy a feladat állítása nem igaz, és $A\mathrm{,}B$ épp olyan felbontás, amelyben nincs háromtagú számtani sorozat. Megmutatjuk, hogy ha $n\ge 4$, akkor $\left(n-1\right)$ és $\left(n+1\right)$ nem tartozhatnak ugyanahhoz a halmazhoz. Ha ugyanis $n-1\in A\mathrm{,}n+1\in A$, akkor csak $n-3\in B$,$n+3\in B$ lehetne, ámde ekkor $n$ már sem $A$-ban, sem $B$-ben nem lehetne. Nyilván feltehetjük, hogy a $7$ az $A$-ban van. Ekkor előző megállapításunk szerint csak $5\in B\mathrm{,}9\in B$ lehet, és ezek miatt $3\in A\mathrm{,}11\in A$. Mivel feltevésünk szerint $3$ és $11$ számtani közepe $A$-beli, ellentmondásra jutottunk, tehát állításunk igaz.