Kezdőlap


Feladat:	Gy.1870	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kovács Beáta
Füzet:	1980/május, 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Különleges függvények, Gyakorlat, Valós számok és tulajdonságaik
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: Gy.1870

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell igazolnunk, hogy a függvénynek semmilyen $a \neq 0$ valós szám nem periodusa. Ehhez elegendő, ha minden $a \neq 0$ valós számhoz mutatunk olyan $x$ -et, amelyre $D (x) \neq D (x + a)$ , azaz $x^{2}$ és ${(x + a)}^{2}$ közül az egyik racionális a másik irracionális.
Racionális és irracionális számok összegének és szorzatának jellegét az alábbi ismert táblázatban tüntetjük fel ( $r$ racionális, $i$ irracionális számot jelöl):

\begin{matrix} \begin{matrix} + & r \end{matrix} \end{matrix}

Ezek után

a

-ra nézve három esetet különböztetünk meg:

a

racionális:
Ekkor

x = \sqrt[]{2}

megfelelő, hiszen

D (\sqrt[]{2}) = 1

, mivel

{(\sqrt[]{2})}^{2} = 2

, másrészt

{(a + \sqrt[]{2})}^{2} = a^{2} + 2 + 2 \sqrt[]{2} a

, amely a fenti táblázat alapján irracionális, így

D (\sqrt[]{2} + a) = 0

2. Ha

a

irracionális, de

a^{2}

racionális (pl.

\sqrt[]{3}

):
Ekkor

x

-et

1

-nek választjuk. Nyilván

D (1) = 1

, míg

{(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1 + 2 a

irracionális, így

D (1 + a) = 0

3. Ha

a

és

a^{2}

is irracionális (pl.

\sqrt[^{4}]{2}

):
Legyen

x = 0

. Ekkor

D (0) = 1

, ugyanakkor

{(a + 0)}^{2} = a^{2}

miatt

D (0 + a) = 0

. Ezzel az állítást igazoltuk.

Kovács Beáta (Dombóvár, Gőgös I. Gimn., I. o. t.)