Kezdőlap


Feladat:	Gy.1868	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1980/március, 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/november: Gy.1868

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög másik két csúcsát $B$ -vel és $C$ -vel. Az $A$ -ból induló szögfelező messe a körülírt kört $D$ -ben. $C D = D B$ miatt $D O$ merőleges $C B$ -re és felezi azt. Jelöljük a felezési pontot $F$ -fel. Feltétel szerint $M O ∥ A D$ , $M A$ viszont $O D$ -vel párhuzamos, hiszen mindkettő merőleges $C B$ -re, ezért $M O D A$ négyszög paralelogramma, s így $M A = O D$ . Jelöljük $C$ -nek $O$ -ra vonatkozó tükörképét $C^{*}$ -gal. $C B C^{*}$ nyilván derékszögű háromszög és hasonló a $C F O$ háromszöghöz. $B C^{*} ∥ F O$ és $C B = 2 C F$ miatt $B C^{*} = 2 O F$ .

M A C^{*} B

négyszög ugyancsak paralelogramma, szemben fekvő oldalai párhuzamosak:

M A ∥ F D ∥ {B C}^{*}

, valamint

C A ⊥ {A C}^{*}

, hiszen

C C^{*}

átmérője a körnek; és

M B

merőleges

A C

miatt

M B ∥ {A C}^{*}

is teljesül. De akkor

M A = O D = B C^{*}

és

O D = 2 O F

miatt

O

B C D

háromszög súlypontja. A

C B D

háromszög nyilván egyenlő szárú. Az

O B = O D

egyenlőségből az is következik, hogy a

C O

súlyvonal nemcsak felezi a

D B

oldalt, de merőleges is rá. A

C B D

háromszög tehát egyenlő oldalú is, de akkor

C D B ∢ = 60^{\circ}

, s mivel

A

C B

húr által létrejött körív másik ívén fekszik, mint

D

, hiszen

A D

mindig a háromszög belsejében halad, így

C A B ∢ = 120^{\circ}