Feladat: Gy.1864 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/április, 162 - 163. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/november: Gy.1864

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség a négyzetre emelés elvégzése és rendezés után az alábbi alakban írható:

0≤(n-3)(x4+y4+z4)+(x2-y2)2+(y2-z2)2+(z2-x2)2.
A jobb oldalon a második, harmadik és negyedik tag minden valós x, y, z számra nem negatív. Az első tag n≥3 esetén szintén nem negatív, így a vizsgált egyenlőtlenség azonosan teljesül, ha n≥3.
Ha n<3, akkor például x=y=z≠0 választással a jobb oldalon az első tag negatív, a további tagok értéke 0, így ekkor az egyenlőtlenség nem teljesül.
Így a 3 a legkisebb olyan természetes szám, amelyre a vizsgált egyenlőtlenség minden valós x, y, z értékre teljesül.