Feladat: Gy.1863 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bíró Magdolna ,  Danyi P. ,  Fodor Z. ,  Gulyás Gy. ,  Hideg Sz. ,  Holbok I. ,  Horváth 713 Z. ,  Károlyi Gy. ,  Kiss 189 I. ,  Kósa T. ,  Kurucz Gy. ,  Markó T. ,  Mohay T. ,  Nagy 513 P. ,  Nagy 548 R. ,  Nagy 681 B. ,  Nagy 789 Cs. ,  Peták T. ,  Porkoláb Z. ,  Rácsai L. ,  Révész Zsuzsa ,  Selmeczy P. ,  Steiner M. ,  Sűrű L. ,  Süvegh G. ,  Szabó E. ,  Szűcs 100 I. ,  Tóth 360 G. ,  Tóth 639 L. ,  Tranta Beáta ,  Vécsey L. ,  Zsebők O. 
Füzet: 1980/április, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Természetes számok, Gyakorlat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/november: Gy.1863

Anna és Béla a következő játékot játsszák: Anna gondol egy természetes számokból álló (a1, a2, a3, a4) számnégyest. Béla mond egy ugyancsak természetes számokból álló (b1, b2, b3, b4) számnégyest. Erre Anna közli vele az a1b1+a2b2+a3b3+a4b4 összeget. Ezután Béla újabb számnégyeseket mondhat. Legalább hány számnégyes alapján találhatja ki Béla Anna számait?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két számnégyes elegendő Anna számainak kitalálásához. Ha Béla az első számnégyest (1, 1, 1, 1)-nek választja és erre a válasz egy k jegyű szám, akkor ebből kiderül, hogy Anna legfeljebb k jegyű számokból álló számnégyesre gondolt. Így ha a második számnégyes 1, 10k, 102k, 103k, akkor az Anna által mondott legfeljebb 4k jegyű szám utolsó k, utolsó k előtti k stb. jegyéből alkotott számok rendre a gondolt számnégyes első, második stb. számai lesznek. Viszont egyetlen számnégyes általában kevés. Ha ugyanis Anna válasza egy tetszőleges b1, b2, b3, b4 számnégyesre b1b2+b1+b2+b3+b4, akkor nem lehet eldönteni, hogy Anna (1+b2,1,1,1) vagy (1,1+b1,1,1) közül melyikre gondol. Tehát Béla két számnégyes alapján mindig kitalálhatja Anna számait, kevesebb általában nem elegendő.

 

Megjegyzések. 1. A beküldők többsége figyelmen kívül hagyta azt, hogy Béla a második számnégyesét már az első válasz ismeretében választhatja meg, másrészt a gondolt számoknak természetes számoknak kell lenniük. Így sokan megelégedtek az "n ismeretlen n egyenlet'' elv alapján azzal a következtetéssel, hogy Béla tetszőlegesen választott négy számnégyesből megmondhatja Anna számait. Ebben a "megoldásban'' még mindig több hiány van! Egyfelől, ha Béla ugyanazt a számnégyest, vagy ugyanannak a számnégyesnek többszöröseit mondja, akkor nyilván a válasz is ugyanannak a számnak a megfelelő többszöröse, tehát a nyert egyenletek egymás többszörösei, így Béla a számnégyest nem találhatja ki. Másfelől ekkor is meg kell mutatni azt, hogy kevesebb számnégyes nem elég. Ki kell tehát kötni, hogy a Béla által mondott számnégyesek olyanok. legyenek, hogy semelyik sem áll elő a többi többszöröseinek összegeként, tehát az egyenletek " függetlenek''. Be kell látni, hogy ilyen esetben az ismeretlenek mindig meghatározhatók, és ha kevesebb egyenlet van, akkor általában nem. Ezeket a problémákat részben megkerülték, illetve megoldották azok, akik azt írták, hogy ha Béla pl. az (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1) együtthatókat mondja, akkor négy kérdésből meghatározhatja Anna számait (persze így egy módosított feladat megoldását adták).
2. Sajnos akik rájöttek, hogy két kérdés elég, azok többsége se mutatta meg, hogy ennyi szükséges is.
3. A megoldásból következik, hogy tetszőleges szám n-es is kitalálható két kérdéssel. Ha azonban negatív vagy tört számokat is megengedünk, akkor a módszerünk nem működik.