Kezdőlap


Feladat:	Gy.1861	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Eltolás, Lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: Gy.1861

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a háromszögnek van két nem egyenlő hosszú oldala. Legyenek ezek $A B < A C$ . Tükrözzük a háromszöget az $A$ csúcsból kiinduló szögfelezőjére. A kapott $A B' C'$ háromszög egybevágó az eredetivel, és lefedi annak egy részét, az $A B P B'$ négyszöget, ahol $P$ a $B C$ és $B' C'$ egyenesek metszéspontja. Ugyanis $B$ tükörképe, $B', A B < A C$ miatt az $A C$ szakaszon van, $C$ tükörképe, $C'$ pedig az $A B$ oldal $B$ -n túli meghosszabbításán.

A kimaradó részt lefedő másik háromszög pedig legyen az, amelyiket úgy kapunk, hogy

A B C

-t eltoljuk a

\vec{B P}

vektorral.

A

eltoltja

A''

C

eltoltja

C''

. Az eltolás miatt

P C < P C''

C

P C''

szakasz pontja. Be kell még látnunk, hogy

A'' P C'' ∢

tartalmazza a

B' P C''

szöget. Az

A'' P C'' ∢ = A B C ∢

-gel, az előző külső szöge a

P B C'

háromszögnek, és így biztosan nagyobb a

B P C' ∢ = B' P C ∢

belső szögénél.

Most vizsgáljuk azt az esetet, amikor a háromszög mindhárom oldala egyenlő hosszú. Előbbi módszerünk most nem vezet célra, mert a háromszöget bármelyik szögfelezőjére tükrözve, önmagába megy át. Azaz már egy háromszög lefedi az eredetit, ezt pedig a feladat szövege kizárja. Tegyük fel, hogy két csúcsot két különböző háromszöggel fedtünk le. Ekkor a két háromszög közül az egyik biztosan lefedi a harmadik csúcsot is (hiszen minden pontot fednie kell valamelyik háromszögnek). Ekkor ez utóbbi két csúcs ugyanahhoz a lefedő háromszöghöz tartozik, és összekötő szakaszuk nem lehet a háromszög belsejében, mert a háromszög belsejében lévő bármely szakasz hossza kisebb az oldal hosszánál,

A B' B ∢ > 60^{\circ}

miatt. Az eredeti és a lefedő háromszögnek tehát van egy közös oldala. Ekkor vagy a harmadik csúcsuk is közös, ha ugyan arra az oldalra esik, és így már egy háromszög is lefedi, vagy a másik lefedő háromszöget csak úgy tudjuk elhelyezni, hogy egymaga lefedje az eredetit. Mindkét esetben ellentmondunk annak a feltevésnek, hogy az egyik háromszög külön ne fedje le háromszögünket.