A feltételből következik, hogy $p\left(x\right)$ értékkészletének minden elemét pontosan egyszer veszi föl. Ha ugyanis $p\left(x_1\right)=p\left(x_2\right)$, akkor $P\left(p\left(x_1\right)\right)=P\left(p\left(x_2\right)\right)$, azaz $x_1=x_2$ is fennáll. Ebből viszont következik, hogy $p\left(x\right)$ pontosan elsőfokú, hiszen ez a tulajdonsága sem másodfokú, sem $0$-adfokú (konstans) polinomnak nem lehet meg.
Legyen most $x_1$ adott valós szám. Mivel $p\left(x\right)$ elsőfokú, így értékkészlete a valós számok halmaza, tehát van olyan $y_1$, amelyre $p\left(y_1\right)=x_1$, ekkor $p\left(P\left(x_1\right)\right)=p\left(P\left(p\left(y_1\right)\right)\right)$. A feltétel szerint viszont $P\left(p\left(y_1\right)\right)=y_1$, tehát $p\left(P\left(p\left(y_1\right)\right)\right)=p\left(y_1\right)=x_1$, azaz ha $x_1$ adott valós szám, akkor $p\left(P\left(x_1\right)\right)=x_1$, tehát $p\left(P\left(x_1\right)\right)=x$.