Kezdőlap


Feladat:	Gy.1854	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1980/március, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: Gy.1854

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha $x \geq 0$ és $y \geq 0$ , akkor $(1)$ -ből $x \leq 1$ és $y \leq 1$ következik, $(2)$ -ből pedig $x \geq 1$ . Így csak $x = 1$ teljesülhet. Ezt $(2)$ -be helyettesítve $y = 0$ adódik. Behelyettesítve látható, hogy ez a számpár $(1)$ -nek is megoldása. Tehát az egyenletrendszer megoldása nem negatív számok körében: $x = 1$ , $y = 0$ .
Ha $x + y > 0$ , akkor ${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)$ alapján

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = \frac{{(x + y)}^{3}}{x + y} = \frac{x^{3} + y^{3}}{x + y} + 3 x y . \end{matrix}

x + y > 1

, akkor a bal oldal nagyobb

1

-nél, a jobb oldalon álló tört értéke pedig nő, ha a nevezőt

1

-re csökkentjük. Azt kapjuk tehát, hogy

1 < x^{3} + y^{3} + 3 x y

, ami

(1)

miatt lehetetlen. Hasonló ellentmondásra vezet az

x + y < 1

feltevés is, így

(1)

-ből az

x + y > 0

feltétel mellett

x + y = 1

következik. Ezt

(2)

-be helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y) = x - y = 1. \end{matrix}

Az egyenletrendszer tehát

x + y > 0

feltétel mellett az

\begin{matrix} x + y = 1, x - y = 1 \end{matrix}

egyenletrendszerrel ekvivalens és ennek továbbra is csak

x = 1

y = 0

a gyöke.

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy az egyenletrendszernek akkor sincs más megoldása, ha

x

-ről és

y

-ról nem teszünk fel semmit.
Az első egyenlet az

x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y)

és az

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

azonosságok felhasználásával szorzattá alakítható:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} - 1 + 3 x y = & {(x + y)}^{3} - 1 - 3 x y (x + y - 1) = \\ = & (x + y - 1) ({(x + y)}^{2} + (x + y) + 1) - \\ - 3 x y (x + y - 1) = \\ = & (x + y - 1) (x^{2} + y^{2} - x y + x + y + 1) . \end{matrix}

A második tényező négyzetek összegére bontható:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - x y + x + y + 1 = \frac{1}{2} [{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(x - y)}^{2}] . \end{matrix}

(1)

egyenlet tehát ekvivalens az

\begin{matrix} (x + y - 1) [{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(x - y)}^{2}] = 0 \end{matrix}

(1*)

egyenlettel. Innen vagy

x + y = 1

, vagy

x = y = - 1

.
A második eset

(2)

miatt nem megoldás, az első esetben pedig

(2)

-ből az

x = 1

és

y = 0

gyököt kapjuk.