Feladat: Gy.1853 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Osgyáni Zsuzsanna 
Füzet: 1980/január, 26 - 27. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Logikai műveletek és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/szeptember: Gy.1853

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy háromszög valamelyik csúcsát összekötjük a szemközti oldal egyenesének valamelyik pontjával, a keletkező szakasz felezőpontja a választott oldallal párhuzamos középvonalon van. Mivel hegyesszögű háromszögben mindhárom magasságszakasz a háromszög belsejében van, felezőpontjaik rendre az oldalfelező pontok által meghatározott háromszög oldalszakaszain vannak. Emiatt ha ezek a pontok egy egyenesen vannak, a háromszög biztosan nem hegyesszögű.

 
 

Tompaszögű háromszögben jelöljük a tompaszög csúcsát A-val, a másik két csúcsot B-vel, C-vel, és A0, B0, C0 rendre a velük szemközti oldalfelező pontot, A1, B1, C1 pedig a megfelelő magasságszakaszok felezőpontját jelölje. Ekkor a B-ből, C-ből induló magasságszakaszok a BC egyenes A-t tartalmazó oldalán, a háromszögön kívül futnak. Emiatt B1C1 az A0C0, A0B0 szakaszok C0-on, illetve B0-on túli meghosszabbításán van; vagyis a B0C0 egyenes A felőli oldalán. Mivel A1 a B0C0 szakaszon van, nem lehet rajta a B1C1 egyenesen.
Ezzel beláttuk, hogy ha A1B1C1 egy egyenesen van, akkor a háromszög csak derékszögű lehet.
 

 Osgyáni Zsuzsanna (Tata, Eötvös J. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Jelöljük egy adott háromszöggel kapcsolatban E-vel azt az állítást, hogy a magasságszakaszok felezőpontjai egy egyenesbe esnek, és D-vel azt az állítást, hogy a háromszög derékszögű. Nekünk azt a harmadik állítást kellett igazolnunk, hogy E-ből következik D. A megoldásban ezt a harmadik állítást úgy igazoltuk, hogy megmutattuk, ha D nem igaz, akkor E sem igaz. A matematikai logikában járatlan olvasó most biztosan azt mondja, hogy ez hiányos. Esetünkben semmi akadálya belátni, hogy D-ből következik E, hiszen ha A-ban van a derékszög csúcsa, akkor B1 és C0, valamint C1 és B0 azonosak. Erre azonban elvileg semmi szükség nincs, a legtöbb, amit a bizonyítástól elvárhatunk, az, hogy azt is megmutatta, hogy van olyan háromszög, amelyben E igaz. Ez utóbbit úgy mondjuk, hogy E ,,nem üres''.
2. Megoldásunk alapja az a szemléletesen világos észrevétel volt, hogy ha egy egyenes egy háromszög valamelyik oldalszakaszát annak valamely belső pontjában metszi, és nem megy át a harmadik csúcson, akkor a másik két oldalszakasz közül pontosan csak az egyiket metszheti belső pontjában. Ez azért van így, mert a harmadik csúcs az első két csúcs közül pontosan csak az egyikkel kerülhet az egyenesnek ugyanarra az oldalára.