A feladat értelmezése alapján $n\ge 2$ föltehető. Ha $n=2$, akkor $x_1$ és $x_2$ egyike sem lehet $1$, mert akkor a másik reciproka $0$ volna. Ha egyik sem $1$, akkor $\frac{1}{x_1}\leqq \frac{1}{2}$ és $\frac{1}{x_2}\leqq \frac{1}{2}$, de mivel $x_1\ne x_2$, így legfeljebb az egyik helyen állhat egyenlőség, tehát $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ bármely két $1$-től és egymástól különböző természetes számra. Tehát $n=2$ nem felel meg a kérdésnek.
A továbbiakban $n$-re vonatkozó teljes indukcióval belátjuk, hogy ha $n\geqq 3$, akkor az egyenletnek van különböző természetes számokból álló megoldása. Ha $n=3$, akkor $x_1=2$, $x_2=3$; $x_3=6$ megoldás. Ha $n>3$-ra a nagyság szerint felírt $x_1<x_2<\text{...}<x_n$ számok megoldások, akkor az $x{\text{'}}_1=2$; $x{\text{'}}_2=2x_1$;