Kezdőlap


Feladat:	Gy.1848	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Parabola egyenlete, Hossz, kerület, Terület, felszín, Téglalapok, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: Gy.1848

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $P (k; t)$ pont akkor és csak akkor tartozik az adott tartományhoz, ha a

\begin{matrix} k & = 2 (x + y), & (1) \\ t & = x y \end{matrix}

egyenletrendszernek van pozitív számokból álló megoldása, ahol

x

y

a téglalap oldalait jelöli. Így

k > 0

t > 0

nyilván szükséges feltétel. A gyökök és együtthatók összefüggése alapján ez akkor és csak akkor teljesül, ha

x

és

y

gyökei az

\begin{matrix} u^{2} - \frac{k}{2} u + t = 0 \end{matrix}

(2)

egyenletnek. Mivel két szám akkor és csak akkor pozitív, ha összegük és szorzatuk pozitív, így ha

k > 0

t > 0

esetén a (2) egyenlet megoldható, akkor a gyökök szükségképpen pozitívak.
Azt kaptuk tehát, hogy a

P (k; t)

pont akkor és csak akkor tartozik az adott tartományhoz, ha

k > 0

t > 0

és a (2) egyenletnek van megoldása, azaz

\begin{matrix} \frac{k^{2}}{4} \geq 4 t . \end{matrix}

Ennek alapján a tartomány a

k

és

t

tengelyekkel meghatározott derékszögű koordináta-rendszerben az első síknegyednek a

k

tengely és a

\begin{matrix} t = \frac{k^{2}}{16} = {(\frac{k}{4})}^{2} \end{matrix}

egyenletű parabolaív által határolt része. A parabolaív pontjai hozzátartoznak a tartományhoz, a

k

tengely pontjai pedig nem.

Megjegyzések. A parabolán levő pontok esetén

\frac{k^{2}}{4} = 4 t

; tehát a (2) egyenlet gyökei egyenlők, így ezek a pontok a négyzeteket jellemzik.
2. A fenti kérdés általánosabban is fölvethető. Az 1654. gyakorlat (1977. év, 2. szám, 73. old.) állításának következménye, hogy a fenti tartomány nem változik, ha a téglalap helyett négyszöget írunk. Háromszögek esetén már más, a fentinél szűkebb tartományt kapunk. Ha pedig téglalap helyett tetszőleges síkidomot mondunk, akkor a válasz a tetszőleges síkidom

k

kerületére és

t

területére igaz

\begin{matrix} \frac{k^{2}}{4 π} \geq t \end{matrix}

úgynevezett izoperimetrikus egyenlőtlenség segítségével adható meg. Ez az egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy adott kerületű síkidomok közül a kör a legnagyobb területű.