Kezdőlap


Feladat:	Gy.1847	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1980/március, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: Gy.1847

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $a$ , $b$ , $c$ pozitív, a gyök alatti kifejezésekhez rendre $4 a^{2}$ , $4 b^{2}$ , $4 c^{2}$ -et adva növeljük a bal oldalon álló kifejezés értékét:

\begin{matrix} \sqrt[]{4 a + 1} + \sqrt[]{4 b + 1} + \sqrt[]{4 c + 1} < \\ < \sqrt[]{4 a^{2} + 4 a + 1} + \sqrt[]{4 b^{2} + 4 b + 1} + \sqrt[]{4 c^{2} + 4 c + 1} . \end{matrix}

(1)

Itt viszont:

\begin{matrix} \sqrt[]{4 a^{2} + 4 a + 1} + \sqrt[]{4 b^{2} + 4 b + 1} + \sqrt[]{4 c^{2} + 4 c + 1} = & (2) \\ = \sqrt[]{{(2 a + 1)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 b + 1)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 c + 1)}^{2}} . \end{matrix}

a

b

c

pozitív,

2 a + 1

2 b + 1

2 c + 1

is pozitív, tehát:

\begin{matrix} \sqrt[]{{(2 a + 1)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 b + 1)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 c + 1)}^{2}} = (2 a + 1) + (2 b + 1) + (2 c + 1) . \end{matrix}

(3)

Rendezve és felhasználva az

a + b + c = 1

feltételt:

\begin{matrix} 2 a + 1 + 2 b + 1 + 2 c + 1 = 2 (a + b + c) + 3 = 5. \end{matrix}

Tehát az állítás igaz.

Megjegyzés. Látható, hogy az

a

b

c

pozitivitása az egyenlőtlenség teljesüléséhez nem szükséges feltétel. Rögtön következik, hogy a pozitivitás helyett az eredeti gyökös kifejezés értelmezhetőségéhez szükséges

a \geq - 0,25

b \geq - 0,25

c \geq - 0,25

feltétel is elegendő, mert

(1)

teljesüléséhez az kell, hogy

a

b

c

ne legyen egyszerre

0

, s ez az

a + b + c = 1

feltételből következik.

(3)

teljesüléséhez pedig

2 a + 1 \geq 0

2 b + 1 \geq 0

2 c + 1 \geq 0

is elegendő, s így az enyhített feltételek mellett a bizonyítás változatlanul érvényben marad.
Az

(1)

lépésben egyenlőséget csak

a = b = c = 0

esetén kapnánk, márpedig

a + b + c = 1

. Ez azt sugallja, hogy finomabb eljárással kifejezésünkre az enyhített feltételek mellett is (*)-nál jobb korlát adható. Valóban, alkalmazzuk a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget (tetszőleges

x

y

z

valós számokra

\frac{x + y + z}{3} \leq \sqrt[]{\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3}}

és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha

x = y = z

). Eszerint

\begin{matrix} \sqrt[]{4 a + 1} + \sqrt[]{4 b + 1} + \sqrt[]{4 c + 1} \leq 3 \sqrt[]{\frac{4 a + 1 + 4 b + 1 + 4 c + 1}{3}} = \sqrt[]{21} \approx 4, 58 < 5. \end{matrix}

Az egyenlőség

a = b = c = 1 / 3

esetén teljesül. Tehát a kifejezés legnagyobb értékét a feltételek módosítása nem befolyásolta.