Kezdőlap


Feladat:	Gy.1840	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Perge Marianna
Füzet:	1979/november, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevező gyöktelenítése, Paraméteres egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: Gy.1840

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mondott feltétel miatt

\begin{matrix} a + b > x > a - b > 0, \end{matrix}

így ezek négyzetgyökére is igaz, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{a + b} > \sqrt[]{x} > \sqrt[]{a - b} . \end{matrix}

Adjunk hozzá

\sqrt[]{a}

-t az egyenlőtlenség-lánc mindegyik tagjához:

\begin{matrix} \sqrt[]{a + b} + \sqrt[]{a} > \sqrt[]{x} + \sqrt[]{a} > \sqrt[]{a} + \sqrt[]{a - b} . \end{matrix}

Mivel ezek a mennyiségek is pozitívak, reciprokaikra a fordított irányú egyenlőtlenség áll fenn:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{a + b} + \sqrt[]{a}} < \frac{1}{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{a}} < \frac{1}{\sqrt[]{a} + \sqrt[]{a - b}} . \end{matrix}

Ebből a nevezőket gyöktelenítve a bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk.

Perge Marianna (Eger, Gárdonyi G. Gimn., I. o. t.)