Kezdőlap


Feladat:	Gy.1833	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/november, 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenlőtlenségek, Parabola egyenlete, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/április: Gy.1833

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználva a logaritmus függvény azonosságait és azt a tulajdonságát, hogy $1$ -nél nagyobb alap esetén szigorúan monoton növekvő, a megadott egyenlőtlenség ekvivalens az alábbival:

\begin{matrix} \frac{x + p}{\sqrt[]{10}} \geq \sqrt[]{2 x} . \end{matrix}

Ebből négyzetre emeléssel és rendezéssel az

\begin{matrix} x^{2} + (2 p - 20) x + p^{2} \geq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutunk. Kérdés, mely

p

értékekre teljesül ez minden pozitív

x

-re. Mivel

x^{2} + (2 p - 20) x + p^{2}

értéke

x = 0

-ban

p^{2} \geq 0

, az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha az

x^{2} + (2 p - 20) x + p^{2}

parabolának

a)a tengelypontja az

x \leq 0

félsíkban van;
b) a tengelypontja az

x

tengely felett van.

A tengelypont helye

- \frac{2 p - 20}{2}

, így az a) feltétel a

p \geq 10

feltétellel ekvivalens. A tengelypont akkor van az

x

tengely felett, ha a diszkrimináns negatív (mert az

x^{2}

együtthatója pozitív), vagyis

{(2 p - 20)}^{2} - 4 p^{2} \leq 0

, tehát a b) a

p \geq 5

feltétellel ekvivalens.
Vagyis az egyenlőtlenség teljesül minden pozitív

x

-re, ha

p \geq 5