Feladat: Gy.1832 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/december, 213 - 214. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/április: Gy.1832

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen f a locsolkodó fiúk, n pedig az egy üvegben levő cseppek száma. Ekkor egy fiú n2-15 csepp kölnit locsolt a mamára. Emiatt

f⋅(n2-15)>-3n,vagyis6nn-30<f.(1)



A lányokra vonatkozó feltétel nem egyértelmű. Ha például minden fiúnak ugyanaz a lány tetszett, akkor ő f⋅n/2 csepp kölnit kapott, ami szintén több, mint három üveg. Adott f esetén sem mindegy, hogy az egyes lányokat hányan választják. A feladat csupán a kölnisüvegre kíváncsi, a többi körülményt mi szabadon változtathatjuk a feltételekkel összeegyeztethetően.
Helyettesítsük egyelőre a lányokra vonatkozó feltételt egy gyengébb, de jobban kezelhető kikötéssel. Egy lányra sem jutott 3n cseppnél több, így a négy lányra összesen legfeljebb 12n csepp jutott. Így, mivel egy fiú a négy lányra összesen n2+15 csepp kölnit locsolt: f⋅(n2+15)≤12n, ahonnan kapjuk, hogy
f≤24nn+30.(2)
(1) és (2) együtt a
6nn-30<f≤24nn+30(3)
egyenlőtlenségláncot jelenti, ahonnan kapjuk, hogy
6nn-30<24nn+30,
vagyis n>50. Tehát egy üvegbe legalább 51 csepp kölni szükséges. De okoskodásunk nem megfordítható, így további finomításra van szükség.
Ha n>50, akkor 6nn-30<15<24nn+30, így található (3)-at kielégítő f egész szám. Ha (3)-t egy kicsit átalakítjuk:
6+180n-30<f≤24-720n+30,(3')
akkor azt is látjuk, hogy a 7≤f≤23 értékek bármelyike kielégíti (3)-t elég nagy n esetén. Nekünk arra az f értékre van szükségünk, amikor n a lehető legkisebb. Figyelembe kell vennünk azonban, hogy (2) és így (3) jobb oldala nem egyenértékű a lányokra vonatkozó feltétellel. Ha például f≥21, akkor elég nagy n-re (f=21 esetén n≥210) (3) fennáll, de bármilyen is a fiúk ízlése, van olyan lány, akit legalább hatan választottak, így ő már ezektől is legalább három üveg kölnit kapott. Ahhoz, hogy a lányokra vonatkozó feltételt megvalósíthassuk, a fiúk számát kicsire kell választanunk, hisz így érhető el, hogy egy lányt se válasszanak túl sokan. Ha viszont csökkentjük a fiúk számát, akkor a mama, azaz (1) miatt n-et növelnünk kell. Ahhoz, hogy például f=7 kielégítse (1)-et, n-et legalább 211-nek kell választanunk, ez pedig túl nagy az előzetes n>50 becsléshez képest.
Az f=15 érték már lehetséges, ha n>50. Ha tehát a fiúk 15-en voltak, akkor volt olyan lány, akit legalább négyen választottak. Ezektől legalább 2 üveg kölnit kapott, a többiektől 5-5 cseppet, így ő legalább 2n+11⋅5 csepp kölnit kapott. Ez n≤55 esetén nem lesz több, mint 3 üveg, azaz 3n csepp kölni.
Így f=15 esetén minimálisan 55 csepp szükséges. Ez már meg is valósítható, amennyiben három lányt négyen, egyet pedig hárman locsoltak meg.
Meg kell néznünk, hogy ha 50<n<55, akkor (1) lehetővé teszi-e a fiúk számának csökkentését.
Mivel (1) bal oldala monoton fogyó, elegendő n=54-et vizsgálni. Ekkor (1) szerint f>13,5, így 13 vagy annál kevesebb fiú esetén n≤55 (valóban ekkor n≤56), így ekkora csökkentés már nem ad jobb eredményt.
Ha f=14, akkor (1) alapján 14>6nn-30, vagyis n>52,5. Így ha n≤53, akkor (1) teljesül. Másrészt most is elérhető, hogy egy lányt se válasszanak 4-nél többen ‐ például három lányt négyen, egyet pedig ketten ‐ és így a legillatosabb leány is 4⋅2n+10⋅5=2n+50 csepp kölnit kapott, ami n≤53 esetén három üvegnél kevesebb.
Tehát az adott feltételek esetén egy üvegben legalább 53 csepp kölni volt, és ez lehetséges is, amennyiben 3 lányt 4‐4 fiú, egyet pedig két fiú locsolt meg.