Kezdőlap


Feladat:	Gy.1828	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hetyei Gábor
Füzet:	1979/október, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria síkban, Lefedések, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/március: Gy.1828

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n$ számú pont véges sok háromszöget határoz meg, ezért biztosan van köztük legnagyobb területű (esetleg több is). Legyen $A B C$ egy ilyen maximális területű háromszög.

Húzzuk meg az

A

-n átmenő,

B C

-vel,

B

-n átmenő,

A C

-vel, valamint a

C

-n átmenő,

A B

-vel párhuzamos

a

b

c

egyeneseket. Az

a

egyenes

B

C

-t nem tartalmazó oldalán az

n

pont egyike sem helyezkedik el, mert különben az így kapott háromszög területe nagyobb lenne, mint az

A B C

háromszög területe. (Az alapjuk megegyezik, s az utóbbi magassága nagyobb.) Ugyanígy belátható a

b

és

c

egyenesekre, hogy azok

A

C

-t, ill.

A

B

-t nem tartalmazó oldalán nem lehet pont a halmazból. Így minden pont az

a

b

c

egyenesek által határolt háromszögben vagy annak határán helyezkedik el. Ennek a háromszögnek az

A

B

, ill.

C

pontok oldalfelező pontjai, ebből pedig következik, hogy területe négyszerese az

A B C

háromszög területének. Mivel az

A B C

háromszög területe legfeljebb 1, a határoló háromszög területe legfeljebb 4 egység. Ezzel az állítást igazoltuk.

Hetyei Gábor (Pécs, Alkotmány u. Ált. Isk., 8. o. t.)