Kezdőlap


Feladat:	Gy.1822	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/november, 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/március: Gy.1822

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggés alapján tudjuk, hogy az $S$ , $P$ valós számokhoz általában akkor és csakis akkor találhatók olyan $b$ , $c$ valós számok, amelyekre

\begin{matrix} b + c = S, b c = P, \end{matrix}

(1)

teljesül, ha

\begin{matrix} S^{2} \geq 4 P, \end{matrix}

(2)

hiszen (1) azt jelenti, hogy

b

és

c

x^{2} - S x + P = 0

egyenlet gyökei, (2) pedig azt, hogy ennek az egyenletnek egyáltalán vannak gyökei. Esetünkben

P = a^{2}

S = a P - a

, tehát

\begin{matrix} a^{2} {(P - 1)}^{2} \geq 4 a^{2}, \end{matrix}

ami

a \neq 0

miatt azt jelenti, hogy

| P - 1 | \geq 2

, ez viszont a

P = a^{2} > 0

számra csak úgy teljesülhet, ha

a^{2} \geq 3