Kezdőlap


Feladat:	Gy.1820	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/október, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Trapézok, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/február: Gy.1820

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $O A D$ háromszög derékszögű és $D O A$ szöge $60^{\circ}$ -os, a másik hegyesszöge nyilván $30^{\circ}$ . Ha ezt a háromszöget a $60^{\circ}$ -os szöggel szemközti befogójára tükrözzük, szabályos háromszöget kapunk, melynek oldalainak hosszát jelöljük $2 x$ -szel. Két eset lehetséges: vagy $A O = 2 x$ , ekkor $O D A ∢ = 90^{\circ}$ , vagy $O D' = 2 x$ , s most $O A' D ∢ = 90^{\circ}$ . A feltétel szerint mindkét esetben $A B ∥ C D$ , s így $O A B$ háromszög hasonló $C O D$ háromszöghöz. Megfelelő oldalaikra $2 x : 1 = 1 : x$ , ahonnan $x = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ adódik. Ez pedig megszerkeszthető.

Ennek alapján a szerkesztést a következőképpen végezhetjük. Megrajzoljuk az

O B C

egységnyi oldalú szabályos háromszöget. A

B O

, ill.

C O

oldalak

O

-n túli meghosszabítására felmérjük az

O D = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

O A = \sqrt[]{2}

(illetve

O D' = \sqrt[]{2}

O A' = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

) már megszerkesztett távolságokat, és megkapjuk az

A

és

D

csúcsokat.
Be kell még látnunk, hogy az

A B C D

négyszög trapéz. De ez nyilván következik a párhuzamos szelők tételének megfordításából, mely szerint egy szög száraira mért arányos távolságok megfelelő végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak.
A feladatnak mindig van megoldása. Az

O A

és

O D

szakaszok hosszának felcserélésével nyert két trapéz egybevágó, hiszen a

B O C

szög felezőjére tükrözve egymásba mennek át.