Kezdőlap


Feladat:	Gy.1816	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/november, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Osztópontok koordinátái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/február: Gy.1816

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be az $y_{1} = x_{1}$ , $y_{2} = 2 x_{2}$ , $y_{3} = 3 x_{3}$ , $y_{4} = 4 x_{4}$ , $...$ , $y_{n - 1} = (n - 1) x_{n - 1}$ , $y_{n} = n x_{n}$ változókat, és rendezzük át a $(2)$ , $(3)$ , $(4)$ , $...$ , $(n - 1)$ egyenleteket:

\begin{matrix} 2 y_{2} = y_{1} + y_{3}, 2 y_{3} = y_{2} + y_{4}, 2 y_{4} = y_{3} + y_{5}, ..., 2 y_{n - 1} = y_{n - 2} + y_{n} . \end{matrix}

Ezek az egyenletek együtt azt jelentik, hogy az ismeretlen

\begin{matrix} y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, ..., y_{n - 1}, y_{n} \end{matrix}

számok között ebben a sorrendben a két szélső kivételével minden szám a szomszédjainak a számtani közepe. Geometriailag úgy szemléltethetjük ezt a tulajdonságot, hogy ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a

Q_{i}

(

i

;

y_{i}

) pontokat, a mondott tulajdonság ugyanis éppen azt jelenti, hogy ezek egy egyenesen vannak. Eszerint tetszőleges

1 < i < n

mellett

Q_{i}

Q_{1} Q_{n}

szakaszt

(i - 1) : (n - i)

arányban osztja, vagyis

\begin{matrix} y_{i} = \frac{(i - 1) y_{n} + (n - i) y_{1}}{n - 1} . \end{matrix}

(*)

Alkalmazzuk ezt

i = 2

és

i = n - 1

mellett:

\begin{matrix} y_{2} = \frac{y_{n} + (n - 2) y_{1}}{n - 1}, y_{n - 1} = \frac{(n - 2) y_{n} + y_{1}}{n - 1}, \end{matrix}

amit (

1

)-be és (

n

)-be helyettesítve az

y_{1}

y_{n}

ismeretlenekre a

\begin{matrix} 2 y_{1} - \frac{y_{n} + (n - 2) y_{1}}{n - 1} = A, \\ - \frac{(n - 2) y_{n} + y_{1}}{n - 1} + 2 y_{n} = B \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk. A két, egyenlet összege szerint

\begin{matrix} 2 (y_{1} + y_{n}) - (y_{1} + y_{n}) = A + B, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y_{1} = \frac{n A + B}{n + 1}, y_{n} = \frac{A + n B}{n + 1} . \end{matrix}

Ezeket a (*) egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} y_{i} = \frac{(n + 1 - i) A + i B}{n + 1}, x_{i} = \frac{(n + 1 - i) A + i B}{i (n + 1)}, \end{matrix}

ami most már minden

1

és

n

közötti

i

indexre érvényes.

Megjegyzés. Eredményünket nézegetve a következő, kicsit rövidebb megoldásra juthatunk. Vezessük még be az

\begin{matrix} y_{0} = A, y_{n + 1} = B \end{matrix}

változókat. Ezekkel (

1

) és (

n

) is azt jelenti, hogy

\begin{matrix} 2 y_{1} = y_{0} + y_{2}, 2 y_{n} = y_{n - 1} + y_{n + 1}, \end{matrix}

és a (*)-nak megfelelő

\begin{matrix} y_{i} = \frac{(n + 1 - i) y_{0} + i y_{n + 1}}{n + 1} \end{matrix}

egyenlet közvetlenül adja a végeredményt.