Kezdőlap


Feladat:	Gy.1813	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/május, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: Gy.1813

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $C$ pontnak az $A P$ egyenesen levő merőleges vetületét $D$ -vel. Ez nem eshet egybe $P$ -vel, és biztosan a $P A$ szakasz belsejében van a $C P D ∢ = 60^{\circ}$ miatt. A $C P D$ derékszögű háromszögben $P C D ∢ = 30^{\circ}$ . Tükrözzük a $P$ pontot a $D$ -re, tükörképe $P'$ . A $C P P'$ egyenlő oldalú háromszögben $P D = \frac{1}{2} P P' = \frac{1}{2} P C = P B$ . Így a $P D B$ egyenlő szárú és

\begin{matrix} P B D ∢ = B D P ∢ = 30^{\circ}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} D B A ∢ = 15^{\circ}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} B A P ∢ = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 45^{\circ}) = 15^{\circ} . \end{matrix}

A B D

háromszög ugyancsak egyenlő szárú,

A D = D B

és ez utóbbi viszont a

B D C

háromszögből egyenlő

C D

-vel. Az

A C D

háromszög tehát egyenlő szárú és derékszögű, azaz

A C D ∢ = 45^{\circ}

. Így a keresett

A C B

szögre:

\begin{matrix} A C B ∢ = A C D ∢ + D C B ∢ = 45^{\circ} + 30^{\circ} = 75^{\circ} adódik . \end{matrix}