Kezdőlap


Feladat:	Gy.1808	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1980/március, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Gyakorlat, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: Gy.1808

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x = 5$ nyilván nem megoldása az egyenletnek. Ha $x > 5$ , akkor

\begin{matrix} \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 1, \end{matrix}

emiatt ebben az esetben egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} | x - 2 | + \frac{1}{| x - 2 |} = 2 \end{matrix}

A számtani és mértani közép közti összefüggés alapján tudjuk, hogy egy pozitív szám és reciprokának összege csak akkor

2

, ha a szám az

1

, azaz

| x - 2 | = 1

.
Ha

x > 5

, akkor

| x - 2 | > 3

, így ebben az esetben sem kapunk megoldást.
Ha

x < 5

, akkor

\frac{x - 5}{| x - 5 |} = - 1

, tehát most

\begin{matrix} - | x - 2 | + \frac{1}{| x - 2 |} = 2, \end{matrix}

ahonnan az

\begin{matrix} {| x - 2 |}^{2} + 2 | x - 2 | - 1 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk az

| x - 2 |

ismeretlenre. Ennek egyetlen pozitív gyöke

| x - 2 | = \sqrt[]{2} - 1

. Tehát

x = 1 + \sqrt[]{2}

, vagy

x = 3 - \sqrt[]{2}

. Mindkét szám kisebb, mint

5

, így gyökei az eredeti egyenletnek is.

Megjegyzés. Valamivel több számolással kapjuk az eredményt, ha az egyenlet értelmezési tartományát az alábbi három részre bontjuk:

x < 2

2 < x < 5

5 < x