Kezdőlap


Feladat:	Gy.1807	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/október, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Egyenesek egyenlete, Lineáris programozás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: Gy.1807

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az I. fajta keverékből $x$ , a II. fajtából $y$ zsákkal vesz a tsz naponta, abból az állatok $(10 x + 10 y)$ kg $A$ komponenshez jutnak. Mint megállapították, az egészséges fejlődés feltétele az, hogy ez legalább 45 kg legyen:

\begin{matrix} 10 x + 10 y \geq 45. \end{matrix}

(A)

A másik két komponens szükséges mennyiségéből

\begin{matrix} 10 x + 20 y & \geq 60, & (B) \\ 5 y & \geq 5 & (C) \end{matrix}

feltételeket kapjuk.

Megkeresve először a derékszögű koordináta‐rendszer

\begin{matrix} 10 x + 10 y = 45 \end{matrix}

(a)

feltételeknek eleget tevő pontjait, ebből kiindulva megkaphatjuk az (A) feltétellel jellemzett tartományt is. Mint ismeretes, (a) egy egyenes egyenlete, (A) pedig az ezáltal létesített két félsík közül a felső. Hasonlóan megkeresve a (B), (C) tartományokat, kapjuk, hogy a nyilvánvaló

\begin{matrix} x \geq 0, y \geq 0 \end{matrix}

feltételnek is eleget tevő pontok között azok, amelyekre (A), (B), (C) mindegyike teljesül, abban a tartományban vannak, amelyeknek a határát a

P (0; 4, 5)

Q (3; 1, 5)

R (4; 1)

pontok közti

P Q

Q R

szakaszok, továbbá az

y

tengely

P

-től számított pozitív irányú fele, és az

x

tengellyel párhuzamos,

R

-hez csatlakozó félegyenes képezik. Feladatunk annak a legkisebb

k

konstansnak a meghatározását jelenti, amely mellett a takarmány napi

\begin{matrix} 30 x + 50 y = k \end{matrix}

(D)

költségét kifejező függvény képének van a mi takarmányunkkal közös pontja. Adott

k

mellett (D) egy egyenes egyenlete, a különböző

k

konstansokhoz tartozó egyenesek párhuzamosak egymással. Könnyen ábrázolható például közülük az

S (0; 3)

ponton átmenő egyenes, mely a

k = 30 \cdot 0 + 50 \cdot 3 = 150

konstanshoz tartozik. Ennek még nincs közös pontja a tartományunkkal, de ebből a helyzetből kiindulva felfelé tolva hamar eléri azt, mégpedig

Q

-ban. Itt

k

értéke

30 \cdot 3 + 50 \cdot 1, 5 = 165

, és az ehhez tartozó (D) egyenest ábrázolva meggyőződhetünk róla, hogy annak

Q

az egyetlen (A), (B), (C) feltételnek eleget tevő pontja. Tehát a tsz-nek naponta az I. fajta takarmányból 3, a II. fajtából

1, 5

zsákkal kell vásárolnia.