Tekintsük először azt az esetet, amikor az $a$ együttható racionális szám. Ezt racionális $x$-szel szorozva, racionális szorzatot kapunk. Ha $b$ is racionális, akkor $y$ is az. Ebben az esetben tehát bármely racionális $x$ érték esetén racionális $y$ adódik. Ha pedig $b$ irracionális, akkor $y$ is az. Tehát ha $a$ is, $b$ is racionális, akkor végtelen sok olyan pont van az egyenesen, amelynek mindkét koordinátája racionális szám, ha pedig az $a$ racionális, $b$ pedig irracionális szám, akkor egy sincs. Az előbbi esetre példa az $y=x$ egyenes, az utóbbira pedig $y=x+\sqrt[]{2}$.
Most vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az $a$ együttható irracionális. Megmutatjuk, hogy ekkor legfeljebb egy olyan pont van az egyenesen, amelynek mindkét koordinátája racionális. Tegyük fel ugyanis, hogy van két különböző ilyen pont: az ($x_1$; $y_1$) és az ($x_2$; $y_2$), ahol tehát az $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ racionális számok, és $x_1\ne x_2$, mert ellenkező esetben $y_1=y_2$ is teljesülne. Továbbá