Kezdőlap


Feladat:	Gy.1802	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/május, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: Gy.1802

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szokásos módon a háromszög csúcsait, szögeit, magasságát és a körülírt kör sugarát, akkor az állítás a következő alakban írható fel:

\begin{matrix} a b = 2 r \cdot m_{c} . \end{matrix}

Jelöljük az

m_{c}

magasság talppontját

D

-vel. Húzzuk meg a körnek a

C

ponton átmenő átmérőjét, és jelöljük

E

-vel a körrel való második metszéspontját. Ha

α < 90^{\circ}

, az így kapott

B E C

háromszög hasonló a

D A C

háromszöghöz, hiszen mindkettő derékszögű és

B E C ∢ = D A C ∢ = α

ugyanazon az íven nyugvó kerületi szögek. Így

\begin{matrix} \frac{a}{2 r} = \frac{m_{c}}{b}, \end{matrix}

amiből következik az állítás.
Ha az

α

szög tompaszög, akkor

D

A B

szakasz

A

-n túli meghosszabbítására, azaz a körön kívül esik. Ekkor

B E C ∢ = 180^{\circ} - α

, mert

B A C E

húrnégyszög, úgyszintén

D A C ∢ = 180^{\circ} - α

. Tehát a két háromszög most is hasonló, és az állítás ugyanúgy igazolható, mint az előbb.
Végül, ha

α = 90^{\circ}

, akkor nyilván igaz az állítás, mert

\begin{matrix} b = m_{c}, a = 2 r . \end{matrix}