Kezdőlap


Feladat:	Gy.1800	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/szeptember, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Exponenciális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: Gy.1800

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha x=1, a bal oldal értéke "éppen'' $\frac{7}{6}$ .

x \geq 2

\begin{matrix} \frac{27^{x} + 8^{x}}{18^{x} + 12^{x}} > \frac{27^{x}}{18^{x}} - 1 \end{matrix}

(2)

miatt (1) bal oldala legalább

{(\frac{3}{2})}^{2} - 1 = 1 + \frac{1}{4}

, ami nagyobb a jobb oldalán álló

(1 + \frac{1}{6})

-nál. Ha

x = 0

, a bal oldal értéke

1

, ha pedig

x = - y < 0

, akkor

\begin{matrix} \frac{27^{x} + 8^{x}}{18^{x} + 12^{x}} = \frac{27^{y} + 8^{y}}{18^{y} + 12^{y}}, \end{matrix}

hiszen

27 \cdot 8 = 18 \cdot 12

. Emiatt

x = - 1

is gyök, és további gyököt a negatív egészek közt sem találunk. A még nem bizonyított (2) egyenlőtlenségből a pozitív nevezőkkel való szorzás után az

\begin{matrix} {(18 \cdot 27)}^{x} + {(18 \cdot 8)}^{x} > {(18 \cdot 27)}^{x} + {(12 \cdot 27)}^{x} - {(18 \cdot 18)}^{x} - {(12 \cdot 18)}^{x} \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk, ami valóban igaz, hiszen a jobb oldalon

\begin{matrix} {(12 \cdot 27)}^{x} = {(18 \cdot 18)}^{x} . \end{matrix}

II. megoldás. Jelöljük

2^{x}

3^{x}

értékét

a

-val,

b

-vel, akkor az (1) bal oldalán álló tört értéke

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} b + a b^{2}} = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{a b (a + b)} = \frac{a}{b} - 1 + \frac{b}{a}, \end{matrix}

tehát (1) a

c = \frac{a}{b}

ismeretlenre a

\begin{matrix} c + \frac{1}{c} = \frac{13}{6} \end{matrix}

egyenlet adja. Ebből a másodfokú

6 (c^{2} + 1) = 13 c

egyenletet kapjuk, amelynek a gyökei

c_{1} = \frac{3}{2}

és

c_{2} = \frac{2}{3}

, tehát a

\begin{matrix} c = \frac{a}{b} = {(\frac{2}{3})}^{x} \end{matrix}

hatvány értéke vagy

\frac{2}{3}

, vagy ennek a reciproka, így

x

értéke vagy

1

, vagy

- 1