Kezdőlap


Feladat:	Gy.1798	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/október, 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: Gy.1798

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandó két azonosság épp a mondott

\begin{matrix} x = [x] + {x} \end{matrix}

összefüggés miatt nem lehet egyszerre igaz, hiszen összegük szerint

3 x

egyenlő volna

(3 x + 1)

-gyel. A

+ 1

a (2) összefüggés bal oldaláról maradt le, helyette a

\begin{matrix} {3 x} + 1 = {x} + {x + \frac{1}{3}} + {x + \frac{2}{3}} \end{matrix}

(2*)

összefüggést igazoljuk. Ezután (1)-et úgy kapjuk, hogy

(2^{*})

-ot kivonjuk a

\begin{matrix} 3 x + 1 = 3 x + 1 \end{matrix}

azonosságból.
Jelöljük

[3 x]

értékét

k

-val,

{3 x}

-et

h

-val:

\begin{matrix} 3 x = k + h; 0 \leq h < 1; k egész . \end{matrix}

(3)

Jelöljük még

m

-mel azt a maradékot, amit

k

3-mal való osztásakor kapunk, és

n

legyen a hányados:

\begin{matrix} k = 3 n + m; 0 \leq m < 3; n, m egészek . \end{matrix}

(4)

Ezek szerint

\begin{matrix} x = n + \frac{m + h}{3}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} {x} = \frac{m + h}{3}, {x + \frac{1}{3}} = \frac{m_{1} + h}{3}, {x + \frac{2}{3}} = \frac{m_{2} + h}{3}, \end{matrix}

ahol

m_{1}

m_{2}

(k + 1) : 3

(k + 2) : 3

osztások maradékai. Mivel három szomszédos számot 3-mal osztva mindig a 0, 1, 2 maradékot kapjuk valamilyen sorrendben,

m + m_{1} + m_{2} = 0 + 1 + 2 = 3

, és így valóban azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} {x} + {x + \frac{1}{3}} + {x + \frac{2}{3}} = \frac{m + m_{1} + m_{2}}{3} + h = 1 + h . \end{matrix}