Feladat: Gy.1797 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/április, 167 - 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Négyszög alapú gúlák, Csonkagúlák, Osztópontok koordinátái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/november: Gy.1797

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tudjuk, hogy a csonka gúlát úgy származtathatjuk, hogy egy gúlát elmetszünk az alapjával párhuzamos síkkal.
Jelöljük az alapidomát ABCD-vel, a gúla csúcsát S-sel, a felsőalap megfelelő csúcsait A', B', C', D'-vel. A gúla két szemközti élén pl. AA' és CC'-őn át fektessünk egy síkot. Ez a gúlát az ACC'A' trapézban metszi.

 

 

Az AC' és A'C átlók egymást az O pontban metszik. Most tekintsük az ADB'C' síkidomot. Mivel B'C'∥BC∥AD, ez egy trapéz, melynek AC' és B'D átlói ugyancsak metszik egymást. Hasonlóan az A'B'CD trapéz DB' és A'C átlói is metszik egymást. Eszerint a DB' az AC' és A'C átlók mindegyikét metszi. Mivel DB' nem fekszik az AC' és A'C egyenesek által meghatározott síkban, azért mindkettőt csak úgy metszheti, ha azok közös metszéspontján megy át.
Hasonlóan bizonyíthatjuk ezt a BD' átlóról is. Ezzel igazoltuk az állítást.
 
II. megoldás. A csonka gúla alap- és fedőlapja nyilván hasonló. Megtartva az előző megoldás jelöléseit, jelöljük az AB/A'B' arányt m/n-nel, az alaplap középpontját M-mel, a fedőlapét M'-vel. Az A'OC' és COA háromszögek hasonlósága miatt
AO:OC'=AC:A'C'=m:n.
Továbbá az AOM és C'OM' háromszögek hasonlóságából
MO:OM'=AO:OC'=m:n.
Az M, O, M' pontok egy egyenesen vannak, és O az MM' szakaszt m:n arányban osztja.
Most fektessünk a másik két élen át is egy síkot. Az előzőkhöz hasonlóan beláthatjuk, hogy a B'D és BD átlók ugyancsak az MM' szakaszon metszik egymást és az MM' szakaszt m:n arányban osztják. Ami éppen azt jelenti, hogy a csonka gúla testátlói egy ponton mennek keresztül.