Feladat: Gy.1794 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/március, 117 - 118. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt alakzatok, Tengelyes tükrözés, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/november: Gy.1794

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet különböztethetünk meg:
a) ha van két szomszédos 120∘-os szöge a hétszögnek,
b) ha nincs.
Az a) esetben könnyen beláthatjuk, hogy van két egyenlő oldala a hétszögnek.
Jelöljük BC-vel a hétszögnek azt az oldalát, melyen a 120∘-os szögek fekszenek. A jelölje a B-ből kiinduló, D a C-ből kiinduló oldal másik végpontját. Tükrözzük a hétszöget a BC oldalfelező merőlegesére. Ekkor B és C helyet cserél, a kör önmagába megy át, s a szögek egyenlősége miatt BA és CD egyenesek is helyet cserélnek. Így a BA szakasz tükörképe a CD szakasz lesz, tehát ezek a szakaszok egyenlő hosszúak (1.ábra).

 

 
1. ábra

 


A b) esetben bármelyik két 120∘-os szög csúcsa között van olyan "elválasztó csúcs, amelyben más a szög nagysága, és a négy ilyen csúcs közül kettő egymásnak is szomszédja. Választhatjuk úgy a betűzést, hogy A, C és E a 120∘-os szögek csúcsai, legyen továbbá O a körülírt kör középpontja (2. ábra). Számítsuk ki a kiszemelt csúcsokhoz tartozó 120∘-os kerületi szögek középponti szögét. Az a GOB szög, amelyik az A csúcsot nem tartalmazó GB ívhez tartozik, kétszerese a kerületi szögnek, azaz 240∘. De akkor a kiegészítő ívhez tartozó középponti szög 120∘. Hasonlóan 120∘-os a kisebbik BOD, ill. DOF középponti szög. Ezek összege éppen 360∘, ami csak úgy lehetséges, ha F egybeesik G-vel, azaz a hétszög hatszög. Vagyis ilyen hétszög nem létezik.
 

 
2. ábra