Kezdőlap


Feladat:	Gy.1790	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: Gy.1790

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk a $10 a + b$ kifejezést a következő alakban:

\begin{matrix} 10 a + b = 7 (a + b) + 3 (a - 2 b) . \end{matrix}

Innen látható, hogy ha

a - 2 b

osztható

7

-tel, akkor a jobb oldal mindkét tagja osztható, tehát a bal oldalon álló

10 a + b

is.
Megfordítva, ha

10 a + b

osztható

7

-tel, akkor a

3 (a - 2 b)

is. Következésképpen az

a - 2 b

is osztható

7

-tel, mert a

3

és a

7

relatív prímek. Ezzel beláttuk, hogy a

10 a + b

akkor és csak akkor osztható

7

-tel, ha az

a - 2 b

is osztható.
Ennek alapján könnyen készíthetünk egy eljárást a

7

-tel való oszthatóság eldöntésére. Ugyanis minden

10

-es számrendszerbeli szám

10 a + b

alakú, ahol

b

a szám utolsó számjegye. Az utolsó számjegy elhagyásával keletkező számból kivonva az elhagyott számjegy kétszeresét, lényegesen kisebb számot kapunk, ami akkor és csak akkor osztható

7

-tel, amikor az eredeti szám is. Az eljárást nagyobb szám esetén többször is megismételjük, amíg olyan kis számhoz nem jutunk, amelyről már könnyen eldönthető, hogy osztható-e

7

-tel.