Kezdőlap


Feladat:	Gy.1788	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Béres Gábor
Füzet:	1979/február, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: Gy.1788

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyzet csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, a négyszög csúcsait $E$ , $F$ , $G$ , $H$ -val. Az $A B$ és $C D$ oldalakra rajzolt $A G B$ és $D E C$ szabályos háromszögeknek az $A B$ szakasz felező merőlegese nyilván szimmetriatengelye. Hasonlóképpen szimmetriatengelye a közös résznek a $B C$ szakasz felező merőlegese is, hiszen erre tükrözve az $A G B$ háromszög a $D E C$ háromszögbe megy át. Az $E F G H$ tehát olyan négyszög, amelynek mindkét átlója szimmetriatengelye, vagyis rombusz.

Jelöljük az

E G

átló felét

x

-szel, a

H F

átló felét

y

-nal, ekkor a rombusz területe

t = 2 x y

. Az

a

oldalú szabályos háromszög magasságát

m

-mel jelölve

x = m - \frac{a}{2}

m

-et Pitagorasz-tétel felhasználásával kifejezhetjük

a

-val:

\begin{matrix} m^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2}, \end{matrix}

ahonnan

m = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}

. Tehát

x = m - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} \sqrt[]{3} - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} (\sqrt[]{3} - 1)

. A

H E F

és

D E C

, háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} y : \frac{a}{2} = x : \frac{a}{2} \sqrt[]{3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = \frac{\frac{a}{2} (\sqrt[]{3} - 1)}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Így a rombusz területe

\begin{matrix} t = 2 \cdot \frac{a}{2} (\sqrt[]{3} - 1) \cdot \frac{\frac{a}{2} (\sqrt[]{3} - 1)}{\sqrt[]{3}} = \frac{a^{2} (2 \sqrt[]{3} - 3)}{\sqrt[]{33}} . \end{matrix}

Béres Gábor (Szolnok, Koltói A. Ált. Isk., 8. o. t.)