Kezdőlap


Feladat:	Gy.1782	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/március, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Egyenesek egyenlete, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: Gy.1782

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk össze a 2. és 3., valamint az 1. és 4. tényezőt:

\begin{matrix} [{(x + y)}^{2} - 1] [{(x - y)}^{2} - 1] > 0. \end{matrix}

(2)

A bal oldalon álló kéttényezős szorzat akkor pozitív, ha tényezői előjele megegyezik. Vizsgáljuk meg a koordinátasíkon először az első tényező előjelét. Ha

| x + y | = 1

, a kifejezés értéke

0

. Az

x + y = 1

x + y = - 1

összefüggések egy-egy egyenes pontjaira teljesülnek. Ez a két egyenes párhuzamos egymással, és az első a második felett halad. Az első felett

x + y > 1

, a második alatt

x + y < - 1

, a kettő között

- 1 < x + y < 1

. Ennek megfelelően (2) bal oldalának első tényezője a két egyenes közti sávban negatív, a sávon kívül pozitív.

Hasonlóan kapjuk, hogy (2) bal oldalának második tényezője az

x - y = 1

x - y = - 1

egyenletű párhuzamos egyenesek közti sávban negatív, a sávon kívül pozitív. Képzeletben egymásra téve a két sávot, kapjuk, hogy a

(1; 0)

(0; 1)

(- 1; 0)

(0; - 1)

pontok által meghatározott négyzetben (2) bal oldalának mindegyik tényezője negatív, a négy csúcsszögtartományban pedig mindkettő pozitív. Ezek tehát a síknak azok a részei, ahol (1) teljesül.