Kezdőlap


Feladat:	Gy.1780	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1979/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eltolás, Diszkusszió, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: Gy.1780

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Induljunk ki a már megszerkesztett ábrából. A megoldás két különböző elrendezésben keletkezhet.

1. ábra

Először: ha az

A

pontnak a

d

egyenestől való távolsága nagyság és irány szerint megegyezik a

B

pontnak a

c

egyenestől való távolságával. (Az irány szerinti megegyezést úgy értjük, hogy

A

-tól

d

felé ugyanabba az irányba kell elmozdulnunk, mint

B

-től

c

felé, 1. ábra.)
Jelöljük az

A

és

B

pontok vetületét a

d

, ill

c

egyenesre

A_{1}

, ill.

B_{1}

-gyel.

A A_{1} # B B_{1}

miatt

A B B_{1} A_{1}

négyszög paralelogramma. Toljuk el az

A

pontot

D

-be, ha a

B

pontra ugyanilyen irányú és nagyságú eltolást alkalmazunk, akkor az így kapott

C'

pont nyilván a

c

egyenesen lesz. Hiszen

A D # B C'

-ből következik, hogy

A B C' D

is paralelogramma, de akkor

A B ∥ A_{1} B_{1}

és

A B ∥ D C'

miatt

A_{1} B_{1} C' D

is paralelogramma, tehát

A_{1} D ∥ B_{1} C'

. Az így kapott

C'

és az eredeti

C

pont meghatározza a

c

egyenest, a

D

-n keresztül ezzel párhuzamost húzunk, ez a keresett

d

egyenes. A kapott

c

és

d

valóban eleget tesz a feltételnek, hiszen

c ∥ d

, és

A D = B C'

A D A_{1} ∢ = B C' B_{1} ∢

és

A A_{1} D ∢ = B B_{1} C' ∢ = 90^{\circ}

miatt

A A_{1} D ▵ ≅ B B_{1} C ▵

, s így

A A_{1} = B B_{1}

is teljesül.

2. ábra

Másodszor azt az esetet vizsgáljuk, amikor

A

-nak

d

-től, ill.

B

-nek

c

-től való távolsága egyenlő, de ellentétes irányú. Az

A B

egyenes messe a

c

-t a

C_{1}

d

-t a

D_{1}

pontban. Az

A B

szakasz felezőpontja

F_{1}

, egyben

C_{1} D_{1}

-nek is felezőpontja, ez következik abból, hogy

A D_{1} = B C_{1}

. Az

F_{1}

pont rajta van a

c

d

egyenesek távolságát felező középegyenesen

k

-n. De

k

-n a

C D

távolság

F_{2}

felezőpontja is rajta van. E két felezőpont meghatározza

k

-t és

c

, ill.

d

ezzel párhuzamos és illeszkedik

C

, ill.

D

pontra. Az előzőkhöz hasonlóan most is könnyű belátni, hogy

c

és

d

eleget tesz a feltételnek (2. ábra).
Adott pontnégyeshez tehát általában két párhuzamos egyenespár szerkeszthető a kétféle eljárás szerint. (3. ábra).

3. ábra

A feladatnak, ha a pontok nem esnek egybe és nem alkotnak paralelogrammát, két megoldása van.

Megjegyzés. A megoldók nagy része csak egyféle megoldást talált, s akkor sem vizsgálta, hogy hány megoldása lehetséges a feladatnak. Ezért olyan kevés a helyes megoldók száma. A szerkesztés további elemzését új feladatnak tűzzük ki.